Каков меньший из катетов прямоугольного треугольника, если его площадь равна 200 и тангенс одного из углов равен 0,25?

Molniya

54

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times a \times b\]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

По условию, площадь треугольника равна 200. Подставляя это значение в формулу, получим:

\[200 = \frac{1}{2} \times a \times b\]

Также, нам дано, что тангенс одного из углов треугольника равен 0,25. Тангенс можно определить как отношение противоположного катета к прилежащему катету:

\[тангенс = \frac{противоположный катет}{прилежащий катет}\]

Мы хотим найти меньший из катетов, поэтому будем обозначать противоположный катет как \(x\) и прилежащий катет как \(y\).

Зная, что тангенс одного из углов равняется 0,25, мы можем записать уравнение:

\[0,25 = \frac{x}{y}\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\begin{cases} 200 = \frac{1}{2} \times x \times y \\ 0,25 = \frac{x}{y} \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений, подставив значение \(y\) из второго уравнения в первое:

\[200 = \frac{1}{2} \times x \times \left(\frac{x}{0,25}\right)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[200 = \frac{1}{2} \times x \times 4x\]

\[200 = 2x^2\]

Поделим обе части уравнения на 2:

\[100 = x^2\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[\sqrt{100} = \sqrt{x^2}\]

\[10 = x\]

Таким образом, меньший катет прямоугольного треугольника равен 10.