Каков момент распределенной нагрузки относительно центра

Магнит_6123

16

Момент распределенной нагрузки относительно центра можно вычислить, используя интеграл. Пусть у нас есть распределенная нагрузка, которая задана функцией \(w(x)\), где \(x\) - расстояние от центра. Чтобы найти момент относительно центра, нужно интегрировать произведение нагрузки и расстояния от центра до элементарного участка \(dx\). То есть, момент распределенной нагрузки \(M\) вычисляется по формуле:

\[M = \int_{a}^{b} w(x) \cdot x \, dx\]

где \(a\) и \(b\) - границы распределенной нагрузки.

Теперь я покажу пошаговое решение на примере конкретной задачи.

Представим, что у нас есть распределенная нагрузка на прямолинейном стержне, заданная функцией \(w(x) = 2x + 3\), а границы распределенной нагрузки равны \(a = 0\) и \(b = 5\).

1. Сначала выразим момент относительно центра через интеграл: \(M = \int_{0}^{5} (2x + 3) \cdot x \, dx\).

2. Проведем интегрирование. Интеграл от \(x^2\) равен \(\frac{x^3}{3}\), а интеграл от константы равен \(Cx\), где \(C\) - произвольная константа. Применяя эти формулы, получаем:

\[M = \left[\frac{2x^3}{3} + 3x\right]_{0}^{5}\]

3. Подставим границы интегрирования:

\[M = \left(\frac{2 \cdot 5^3}{3} + 3 \cdot 5\right) - \left(\frac{2 \cdot 0^3}{3} + 3 \cdot 0\right)\]

4. Упрощаем выражение:

\[M = \left(\frac{250}{3} + 15\right) - 0\]

\[M = \frac{250}{3} + 15\]

\[M = \frac{250 + 45}{3}\]

\[M = \frac{295}{3}\]

Таким образом, момент распределенной нагрузки относительно центра равен \(\frac{295}{3}\).