Каков объем информации (I), который студент получит при уведомлении о своей оценке за экзамен, если оценки могут быть

Polosatik

20

Для понимания объема информации, который студент получит при уведомлении о своей оценке, нам необходимо рассмотреть две ситуации: когда оценки могут быть от 2 до 9 и когда оценки могут быть от 2 до 10.

1. Оценки от 2 до 9:
В данном случае, у нас имеется 8 возможных оценок. Чтобы найти объем информации (I), мы можем использовать формулу Хэрриотта-Шэннона:

\[I = -\sum_{i=1}^{n} p_i \log_2(p_i)\]

Где \(p_i\) - вероятность получения оценки \(i\).

В нашем случае, каждая оценка имеет одинаковую вероятность \(p_i = \frac{1}{8}\) (поскольку у нас 8 возможных оценок с равной вероятностью).

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[I = -\left(\frac{1}{8} \log_2\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{1}{8} \log_2\left(\frac{1}{8}\right) + \ldots + \frac{1}{8} \log_2\left(\frac{1}{8}\right)\right)\]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[I = -8 \times \left(\frac{1}{8} \log_2\left(\frac{1}{8}\right)\right) = -\log_2\left(\frac{1}{8}\right)\]

Что равносильно:

\[I = -\log_2(2^{-3}) = -(-3) = 3\]

Таким образом, объем информации студент получит составляет 3 бита.

2. Оценки от 2 до 10:
В данном случае, у нас имеется 9 возможных оценок. Применяя ту же формулу, мы получим объем информации:

\[I = -\sum_{i=1}^{n} p_i \log_2(p_i)\]

Где \(p_i\) - вероятность получения оценки \(i\).

В данном случае, каждая оценка также имеет одинаковую вероятность \(p_i = \frac{1}{9}\) (поскольку у нас 9 возможных оценок с равной вероятностью).

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[I = -\left(\frac{1}{9} \log_2\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{1}{9} \log_2\left(\frac{1}{9}\right) + \ldots + \frac{1}{9} \log_2\left(\frac{1}{9}\right)\right)\]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[I = -9 \times \left(\frac{1}{9} \log_2\left(\frac{1}{9}\right)\right) = -\log_2\left(\frac{1}{9}\right)\]

Что равносильно:

\[I = -\log_2(2^{-4}) = -(-4) = 4\]

Таким образом, при оценках от 2 до 10, объем информации студент получит составляет 4 бита.

Формула \(2^i = N\) описывает, какой объем информации (\(i\)) может быть закодирован с использованием \(N\) возможных исходов или символов. В данном случае, \(i\) представляет собой количество битов информации, а \(N\) - количество возможных оценок. Например, при \(N = 8\) (оценки от 2 до 9), у студента есть возможность получить оценку, закодированную в 3 битах информации. При \(N = 9\) (оценки от 2 до 10), объем информации будет составлять 4 бита.