Каков объем пирамиды s1ab1c1c​, если объем треугольной пирамиды sabc равен 144 и на ребрах as, ab и bc взяты точки

Загадочный_Убийца

52

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать формулу для объема пирамиды. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{abc} \times h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S_{abc} \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

Мы знаем, что объем треугольной пирамиды \( S_{abc} \) равен 144. Теперь давайте найдем площадь основания \( S_{s1ab1c1} \).

Для этого нам понадобятся отношения \(\frac{{ss1}}{{s1a}} = \frac{{1}}{{5}}\), \(\frac{{bb1}}{{b1a}} = \frac{{1}}{{2}}\) и \(\frac{{bc1}}{{c1c}} = \frac{{1}}{{3}}\).

Из отношения \(\frac{{ss1}}{{s1a}} = \frac{{1}}{{5}}\) можно заметить, что отношение сегмента \(ss1\) к сегменту \(s1a\) равно \(\frac{{1}}{{5}}\). Из этого следует, что отношение площадей треугольников \(S_{ss1b1}\) и \(S_{s1ab1}\) будет равно \(\left(\frac{{1}}{{5}}\right)^2 = \frac{{1}}{{25}}\).

Аналогично, из отношений \(\frac{{bb1}}{{b1a}} = \frac{{1}}{{2}}\) и \(\frac{{bc1}}{{c1c}} = \frac{{1}}{{3}}\), мы можем получить отношение площадей треугольников \(S_{bb1c1}\) и \(S_{b1cb1}\) равными \(\left(\frac{{1}}{{2}}\right)^2 = \frac{{1}}{{4}}\) и \(\left(\frac{{1}}{{3}}\right)^2 = \frac{{1}}{{9}}\) соответственно.

Теперь, чтобы вычислить площадь основания \(S_{s1ab1c1}\), мы должны вычесть из площади треугольника \(S_{abc}\) сумму площадей трех треугольников \(S_{ss1b1}\), \(S_{bb1c1}\) и \(S_{b1cb1}\):

\[ S_{s1ab1c1} = S_{abc} - S_{ss1b1} - S_{bb1c1} - S_{b1cb1} \]

Подставим известные значения и посчитаем:

\[ S_{s1ab1c1} = 144 - \frac{{1}}{{25}} \times 144 - \frac{{1}}{{4}} \times 144 - \frac{{1}}{{9}} \times 144 \]

\[ S_{s1ab1c1} = 144 - \frac{{144}}{{25}} - \frac{{36}}{{4}} - \frac{{16}}{{9}} \]

\[ S_{s1ab1c1} = 144 - \frac{{576}}{{25}} - \frac{{36}}{{1}} - \frac{{144}}{{9}} \]

\[ S_{s1ab1c1} = 144 - \frac{{576}}{{25}} - 36 - \frac{{144}}{{9}} \]

Выполняем вычисления:

\[ S_{s1ab1c1} = 144 - 23.04 - 36 - 16 \]

\[ S_{s1ab1c1} = 68.96 \]

Теперь у нас есть площадь основания пирамиды \( S_{s1ab1c1} = 68.96 \). Осталось только вычислить высоту пирамиды \( h \).

Для этого воспользуемся формулой для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{s1ab1c1} \times h \]

Подставим известные значения и выразим высоту \( h \):

\[ 144 = \frac{1}{3} \times 68.96 \times h \]

Выразим \( h \):

\[ 144 = \frac{68.96}{3} \times h \]

\[ h = \frac{144}{\frac{68.96}{3}} \]

\[ h = \frac{144}{22.9866666667} \]

\[ h \approx 6.26 \]

Таким образом, высота пирамиды \( h \approx 6.26 \). Итак, мы нашли площадь основания пирамиды \( S_{s1ab1c1} = 68.96 \) и высоту пирамиды \( h \approx 6.26 \).

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды \( V_{s1ab1c1} \):

\[ V_{s1ab1c1} = \frac{1}{3} \times S_{s1ab1c1} \times h \]

\[ V_{s1ab1c1} = \frac{1}{3} \times 68.96 \times 6.26 \]

\[ V_{s1ab1c1} \approx 144.45 \]

Таким образом, объем пирамиды \( V_{s1ab1c1} \approx 144.45 \).