Каков объём прямой призмы abca1b1c1, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник

Сэр

23

Хорошо, начнем с рисунка для наглядности.

\[abca_1b_1c_1\]

Согласно условию, основание призмы является равнобедренным прямоугольным треугольником \(abc\), где \(ab\) - гипотенуза. Задана длина гипотенузы как \(ab = 2\sqrt{2}\).

Также задано, что угол между плоскостями \(abc\) и \(abc_1\) составляет 45 градусов.

Чтобы найти объем прямой призмы, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[V = S_{\text{осн}} \times h\]

где \(V\) - объем, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, \(h\) - высота призмы.

Давайте начнем с вычисления площади основания. Основание \(abc\) является прямоугольным треугольником, поэтому его площадь равна:

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника \(abc\).

Так как треугольник \(abc\) является равнобедренным, то \(a = b\). Давайте обозначим длину катетов треугольника как \(x\).

Тогда площадь основания будет:

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} x^2\]

Далее, нам нужно найти высоту призмы. Рассмотрим треугольник \(abc_1c\). В этом треугольнике, \(ab\) и \(bc\) являются катетами прямоугольного треугольника, а \(ac\) является гипотенузой. Опять же, треугольник равнобедренный, поэтому \(ab = bc\). Также дано, что угол между плоскостями \(abc\) и \(abc_1\) составляет 45 градусов.

Мы можем использовать тригонометрическое соотношение для нахождения высоты:

\[\sin(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\]

В данном случае, противолежащий катет - это высота призмы, а гипотенуза - это \(ab\).

\[\sin(45) = \frac{h}{2\sqrt{2}}\]

Давайте решим это уравнение относительно \(h\):

\[h = \sin(45) \times 2\sqrt{2}\]

Теперь у нас есть все необходимые значения - площадь основания и высота призмы. Давайте подставим их в формулу для объема прямой призмы:

\[V = S_{\text{осн}} \times h\]

\[V = \left(\frac{1}{2} x^2\right) \times \left(\sin(45) \times 2\sqrt{2}\right)\]

Здесь нам нужно определить длину катета \(x\) равнобедренного треугольника \(abc\). Ранее мы задали \(a = b = x\), а также нам задана длина гипотенузы \(ab = 2\sqrt{2}\). Теперь мы можем применить теорему Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

\[(x)^2 + (x)^2 = (2\sqrt{2})^2\]

\[2x^2 = 8\]

\[x^2 = 4\]

\[x = 2\]

Таким образом, длина катета равнобедренного треугольника \(abc\) равна 2.

Теперь, найдем значение для площади основания \(S_{\text{осн}}\):

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} x^2 = \frac{1}{2} (2)^2 = 2\]

Теперь подставим это значение и значение \(h\) в формулу для объема:

\[V = \left(\frac{1}{2} x^2\right) \times \left(\sin(45) \times 2\sqrt{2}\right)\]

\[V = 2 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2\sqrt{2}\right)\]

\[V = 2 \times (\sqrt{2} \times 2\sqrt{2})\]

\[V = 2 \times (2 \times 2) = 8\]

Объем прямой призмы \(abca_1b_1c_1\) равен 8.