Каков объем прямой призмы, основание которой - треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а площадь боковой

Сон

45

Чтобы найти объем прямой призмы, основание которой - треугольник, мы можем использовать формулу:
\[ V = A \cdot h \]
Где V - объем призмы, A - площадь основания, а h - высота призмы.

Сначала найдем площадь основания призмы, которая является треугольником. Для этого воспользуемся формулой Герона, которая позволяет найти площадь треугольника по длинам его сторон.

Полупериметр треугольника вычисляется следующим образом:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
где a, b и c - длины сторон треугольника.

В нашем случае, a = 13 см, b = 14 см и c = 15 см.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \]

Теперь мы можем использовать формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника:
\[ A = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} \]
Подставляя значения, получаем:
\[ A = \sqrt{21 \cdot (21 - 13) \cdot (21 - 14) \cdot (21 - 15)} \]
\[ A = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \]
\[ A = \sqrt{14112} \approx 118.92 \, \text{см}^2 \]

Теперь у нас есть площадь основания призмы A = 118.92 см².

Чтобы найти высоту призмы h, мы можем использовать формулу для площади боковой поверхности:
\[ S_{\text{бок}} = P \cdot h \]
Где S_{\text{бок}} - площадь боковой поверхности призмы, а P - периметр основания.

В нашем случае, S_{\text{бок}} = 462 см².

Периметр треугольника (основания призмы) вычисляется следующим образом:
\[ P = a + b + c \]
\[ P = 13 + 14 + 15 = 42 \, \text{см} \]

Теперь мы можем использовать формулу для высоты призмы:
\[ h = \frac{S_{\text{бок}}}{P} \]
\[ h = \frac{462}{42} \]
\[ h = 11 \, \text{см} \]

Итак, площадь основания призмы A = 118.92 см², а высота призмы h = 11 см.

Теперь, чтобы найти объем призмы, мы подставляем значения в формулу:
\[ V = A \cdot h \]
\[ V = 118.92 \cdot 11 \]
\[ V \approx 1308.12 \, \text{см}^3 \]

Ответ: Объем прямой призмы, основание которой - треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а площадь боковой поверхности равна 462 квадратным сантиметрам, примерно равен 1308.12 кубическим сантиметрам.