Каков объем тела, получаемого вращением треугольника ABC вокруг оси ординат? Точки A, B и C заданы в системе координат
Каков объем тела, получаемого вращением треугольника ABC вокруг оси ординат? Точки A, B и C заданы в системе координат как A(1;2,7), B(6;2,7) и C(1;14,7).
Радуга_6038 50
Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для вычисления объема тела, получаемого при вращении фигуры вокруг оси ординат, которая выглядит следующим образом:\[V = \pi \int_{a}^{b} y^{2} dx\]
где \(a\) и \(b\) - границы интервала по оси абсцисс, а \(y\) - функция, описывающая график фигуры.
В данной задаче, у нас задан треугольник ABC, где точки A(1;2,7), B(6;2,7) и C(1;14,7). Чтобы найти объем тела, получаемого вращением треугольника вокруг оси ординат, нам нужно найти функцию \(y\) для границ интервала по оси абсцисс.
Находим уравнение прямой, проходящей через точки A и B, используя формулу:
\[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\]
Подставляем значения точек A(1;2,7) и B(6;2,7):
\[\frac{y - 2,7}{2,7 - 2,7} = \frac{x - 1}{6 - 1}\]
Упрощаем выражение:
\[\frac{y - 2,7}{0} = \frac{x - 1}{5}\]
Результатом упрощения будет:
\[y = 2,7\]
Теперь у нас есть функция \(y = 2,7\) для границ интервала. Для вычисления объема тела, получаемого вращением треугольника вокруг оси ординат, мы должны вычислить интеграл:
\[V = \pi \int_{1}^{6} (2,7)^{2} dx\]
Вычисляем данный интеграл:
\[V = \pi \int_{1}^{6} 7,29 dx\]
Выполняем интегрирование:
\[V = \pi \cdot 7,29 \cdot (6 - 1)\]
\[V = 5\pi \cdot 7,29\]
\[V \approx 36,45 \pi\]
Таким образом, объем тела, получаемого вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, примерно равен \(36,45 \pi\) (кубических единиц, где \(\pi\) - математическая константа 3,14159...).