Каков объем тела, получаемого вращением треугольника ABC вокруг оси ординат? Точки A, B и C заданы в системе координат

  • 49
Каков объем тела, получаемого вращением треугольника ABC вокруг оси ординат? Точки A, B и C заданы в системе координат как A(1;2,7), B(6;2,7) и C(1;14,7).
Радуга_6038
50
Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для вычисления объема тела, получаемого при вращении фигуры вокруг оси ординат, которая выглядит следующим образом:

\[V = \pi \int_{a}^{b} y^{2} dx\]

где \(a\) и \(b\) - границы интервала по оси абсцисс, а \(y\) - функция, описывающая график фигуры.

В данной задаче, у нас задан треугольник ABC, где точки A(1;2,7), B(6;2,7) и C(1;14,7). Чтобы найти объем тела, получаемого вращением треугольника вокруг оси ординат, нам нужно найти функцию \(y\) для границ интервала по оси абсцисс.

Находим уравнение прямой, проходящей через точки A и B, используя формулу:

\[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\]

Подставляем значения точек A(1;2,7) и B(6;2,7):

\[\frac{y - 2,7}{2,7 - 2,7} = \frac{x - 1}{6 - 1}\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{y - 2,7}{0} = \frac{x - 1}{5}\]

Результатом упрощения будет:

\[y = 2,7\]

Теперь у нас есть функция \(y = 2,7\) для границ интервала. Для вычисления объема тела, получаемого вращением треугольника вокруг оси ординат, мы должны вычислить интеграл:

\[V = \pi \int_{1}^{6} (2,7)^{2} dx\]

Вычисляем данный интеграл:

\[V = \pi \int_{1}^{6} 7,29 dx\]

Выполняем интегрирование:

\[V = \pi \cdot 7,29 \cdot (6 - 1)\]

\[V = 5\pi \cdot 7,29\]

\[V \approx 36,45 \pi\]

Таким образом, объем тела, получаемого вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, примерно равен \(36,45 \pi\) (кубических единиц, где \(\pi\) - математическая константа 3,14159...).