Каков объем треугольной пирамиды, у которой стороны основания равны 5 и 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости

Золотой_Король

66

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h, \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания, а \( h \) - высота пирамиды.

Первым шагом мы найдем площадь основания треугольной пирамиды. Для этого нам понадобится знать длины сторон основания. У нас дано, что стороны основания равны 5 и 8 см. Поскольку основание представляет собой треугольник, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\alpha}, \]

где \( a \) и \( b \) - длины сторон основания, а \( \alpha \) - угол между этими сторонами. В нашем случае у нас \( a = 5 \) см, \( b = 8 \) см, и \( \alpha = 60 \) градусов.

Подставим значения в формулу:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin{60^\circ}. \]

Вычислим синус 60 градусов: \( \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставим этот результат в формулу:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \, \text{см}^2. \]

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды, которая является расстоянием от вершины пирамиды до плоскости основания. Мы можем использовать тригонометрические соотношения для вычисления высоты.

Поскольку боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов, мы можем найти высоту с помощью следующей формулы:

\[ h = b \cdot \sin{\alpha}, \]

где \( b \) - длина боковой грани пирамиды, а \( \alpha \) - угол между боковой гранью и плоскостью основания. В нашем случае у нас \( b = 8 \) см и \( \alpha = 60 \) градусов.

Подставим значения в формулу:

\[ h = 8 \cdot \sin{60^\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см}. \]

Теперь у нас есть площадь основания (\( S_{\text{основания}} = 20\sqrt{3} \, \text{см}^2 \)) и высота пирамиды (\( h = 4\sqrt{3} \, \text{см} \)). Мы можем использовать формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h. \]

Подставим значения:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 20\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}. \]

Для упрощения выражения, умножим и объединим корни из 3:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{20 \cdot 9\sqrt{3}}{3} = 60\sqrt{3} \, \text{см}^3. \]

Таким образом, объем треугольной пирамиды составляет \( 60\sqrt{3} \, \text{см}^3 \).