Каков оптимальный набор покупок при данной функции полезности, где U = 2XY, х – количество покупаемых видеокассет

Анастасия

65

Для решения данной задачи, мы имеем функцию полезности \(U = 2XY\), где \(X\) - количество покупаемых видеокассет, \(Y\) - количество покупаемых аудиокассет, и расходы на эти товары составляют 50 рублей в неделю.

Чтобы найти оптимальный набор покупок, нам нужно максимизировать функцию полезности при ограничении на расходы. Давайте начнем с поиска равновесия между видеокассетами и аудиокассетами.

Уравнение ограничений на расходы можно записать следующим образом:
\[P_X \cdot X + P_Y \cdot Y = I\]
где \(P_X\) - цена видеокассет, \(P_Y\) - цена аудиокассет, и \(I\) - расходы на товары.

Так как расходы равны 50 рублям, мы можем записать:
\[20X + P_Y \cdot Y = 50\]
где предполагаем, что цена видеокассет составляет 20 рублей (условие задачи).

Теперь найдем производную функции полезности по \(X\) и по \(Y\), чтобы выразить изменение полезности в зависимости от изменения количества товаров:
\[\frac{{dU}}{{dX}} = 2Y\]
\[\frac{{dU}}{{dY}} = 2X\]

Используя равновесие между расходами, мы можем выразить одну переменную через другую:
\[X = \frac{{50 - P_Y \cdot Y}}{{20}}\]

Затем, подставив это выражение для \(X\) в функцию полезности, получим:
\[U = 2 \cdot \left(\frac{{50 - P_Y \cdot Y}}{{20}}\right) \cdot Y = \frac{{(50 - P_Y \cdot Y) \cdot Y}}{{10}} = \frac{{50Y - P_Y \cdot Y^2}}{{10}}\]

Чтобы найти максимальную полезность, найдем производную функции полезности по \(Y\) и приравняем ее к нулю:
\[\frac{{dU}}{{dY}} = \frac{{50 - 2P_Y \cdot Y}}{{10}} = 0\]

Решая уравнение, получим значение \(Y\):
\[50 - 2P_Y \cdot Y = 0\]
\[Y = \frac{{50}}{{2P_Y}} = \frac{{25}}{{P_Y}}\]

Подставляя это значение обратно в уравнение ограничений на расходы, найдем соответствующее значение \(X\):
\[X = \frac{{50 - P_Y \cdot Y}}{{20}} = \frac{{50 - P_Y \cdot \frac{{25}}{{P_Y}}}}{{20}} = \frac{{25 - \frac{{25}}{{P_Y}} \cdot P_Y}}{{20}} = \frac{{25 - 25}}{{20}} = 0\]

Таким образом, оптимальным набором покупок будет \(X = 0\) и \(Y = \frac{{25}}{{P_Y}}\).

Теперь давайте рассмотрим вторую часть вопроса, где цена видеокассет возрастает до 20 рублей.
Подставим новую цену \(P_X\) в уравнение ограничений на расходы:
\[20X + P_Y \cdot Y = 50\]
\[20 \cdot 0 + P_Y \cdot Y = 50\]
\[P_Y \cdot Y = 50\]

Заменяя значение \(Y\) из предыдущих вычислений, получим:
\[P_Y \cdot \frac{{25}}{{P_Y}} = 50\]
\[25 = 50\]

Из этого уравнения мы видим, что \(P_Y\) отсутствует, поэтому спрос на аудиокассеты не изменится при увеличении цены видеокассет.

Теперь рассмотрим эффект замещения, эффект дохода и общий эффект.

1. Эффект замещения - это изменение спроса на один товар в ответ на изменение цены другого товара при неизменном уровне дохода. В данном случае, поскольку спрос на аудиокассеты не меняется при изменении цены видеокассет, мы не можем наблюдать эффект замещения.

2. Эффект дохода - это изменение спроса на товар в ответ на изменение уровня доходов при неизменных ценах товаров. Поскольку наши расходы остаются неизменными, мы не можем наблюдать эффект дохода.

3. Общий эффект - это комбинация эффекта замещения и эффекта дохода. В данном случае, поскольку оба эффекта отсутствуют, мы не можем наблюдать общий эффект.

Функция "доход - потребление" может быть записана следующим образом:
\[C = P_X \cdot X + P_Y \cdot Y = 20 \cdot 0 + P_Y \cdot \frac{{25}}{{P_Y}} = 25\]
где \(C\) - потребление, \(P_X\) - цена видеокассет, \(P_Y\) - цена аудиокассет, \(X\) - количество видеокассет, \(Y\) - количество аудиокассет.

График этой функции будет горизонтальной линией, так как потребление не зависит от цены видеокассет и остается постоянным равным 25.