Каков период обращения искусственного спутника Земли, если его орбита имеет наивысшую точку над поверхностью Земли

Panda

24

Период обращения искусственного спутника Земли можно определить, используя законы движения, в том числе закон всемирного тяготения Ньютона. Давайте разберемся в этой задаче.

Период обращения спутника определяется временем, необходимым для выполнения полного оборота вокруг Земли. Период обращения можно вычислить, зная длину окружности орбиты спутника и его скорость.

Для начала, давайте найдем радиус орбиты спутника. Мы знаем, что наивысшая точка находится на расстоянии 36000 км от поверхности Земли, а наинизшая точка находится на расстоянии 300 км от поверхности Земли. Таким образом, радиус орбиты спутника будет равен сумме радиуса Земли и наивысшей точки орбиты, т.е. 6370 км + 36000 км.

\[Радиус\ орбиты\ спутника = Радиус\ Земли + Высота\ орбиты\ спутника\]
\[Радиус\ орбиты\ спутника = 6370\ км + 36000\ км\]
\[Радиус\ орбиты\ спутника = 42370\ км\]

Теперь мы можем найти длину окружности орбиты спутника, используя формулу длины окружности:

\[Длина\ окружности = 2\pi \cdot Радиус\]

\[Длина\ окружности\ орбиты = 2\pi \cdot 42370\ км\]

Зная длину окружности орбиты, мы можем вычислить скорость спутника, предполагая, что спутник движется с постоянной скоростью:

\[Скорость = \frac{Длина\ окружности\ орбиты}{Период}\]

Теперь мы можем найти период обращения, выражая его через скорость и длину окружности:

\[Период = \frac{Длина\ окружности\ орбиты}{Скорость}\]

Используя все эти данные, вычислим период обращения спутника:

\[Период = \frac{2\pi \cdot 42370\ км}{Скорость}\]

Прежде чем продолжить расчет, нам необходимо найти скорость спутника. По закону всемирного тяготения Ньютона, величина центростремительной силы, действующей на спутник, равна силе тяжести, действующей на спутник. Это можно записать следующим образом:

\[F_{цс} = F_{тяж}}\]

\[m \cdot a = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}\]

\[a = \frac{G \cdot M}{r^2}\]

Здесь \(F_{цс}\) - центростремительная сила, \(F_{тяж}\) - сила тяжести, \(m\) - масса спутника, \(a\) - центростремительное ускорение, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли, \(r\) - расстояние от центра Земли до спутника.

Учитывая, что центростремительное ускорение \(a\) связано со скоростью \(v\) формулой \(a = \frac{v^2}{r}\), мы можем записать следующее:

\[\frac{v^2}{r} = \frac{G \cdot M}{r^2}\]

\[\frac{v^2}{r} = \frac{G \cdot M}{r^2}\]

Перегруппируем эти уравнения, чтобы найти скорость \(v\):

\[v^2 = \frac{G \cdot M \cdot r}{r^2}\]

\[v^2 = \frac{G \cdot M}{r}\]

\[v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}\]

Теперь, имея скорость \(v\), мы можем вычислить период обращения:

\[Период = \frac{2\pi \cdot 42370\ км}{v}\]

Давайте сложим все известные значения в уравнение и вычислим период обращения.

Земля считается шаром радиусом 6370 км, и гравитационная постоянная \(G\) равна \(6.67430 \times 10^{-11}\ м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}\). Масса Земли \(M\) составляет примерно \(5.972 \times 10^{24}\ кг\). Подставим эти значения:

\[v = \sqrt{\frac{(6.67430 \times 10^{-11}\ м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}) \cdot (5.972 \times 10^{24}\ кг)}{42370\ км}}\]

Теперь мы можем вычислить значение скорости \(v\).