Каков радиус круга, вписанного в данный равносторонний треугольник со стороной длиной 12 см (36√3см2)?

Таинственный_Акробат

28

Чтобы найти радиус круга, вписанного в равносторонний треугольник, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами геометрических фигур.

Для начала, давайте проведем основание треугольника, которое будет являться диаметром вписанного круга. Мы можем разделить равносторонний треугольник на два равнобедренных треугольника. Диагонали равностороннего треугольника делятся в отношении 2:1, а значит, длина основания будет равна половине стороны треугольника.

Таким образом, длина основания будет равна \( \frac{{12 \, \text{см}}}{2} = 6 \, \text{см} \).

Теперь нам нужно найти высоту треугольника. В равностороннем треугольнике, высота является биссектрисой угла, проходящей через центр вписанного круга. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти высоту треугольника.

Пусть \( h \) - высота треугольника. Тогда мы можем применить теорему Пифагора к одному из полуравнобедренных треугольников: \((\frac{{12 \, \text{см}}}{2})^2 + h^2 = 12 \, \text{см}^2\).

Упрощая это уравнение, мы получим:
\[36 \, \text{см}^2 + h^2 = 144 \, \text{см}^2\]
\[h^2 = 108 \, \text{см}^2\]

Теперь найдем высоту:
\[h = \sqrt{108 \, \text{см}^2} = 6 \sqrt{3} \, \text{см}\]

Отлично! Теперь мы знаем длину основания и высоту треугольника. Чтобы найти радиус круга, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}\]

Подставив известные значения:
\[36 \sqrt{3} \, \text{см}^2 = \frac{1}{2} \times \text{base} \times 6 \sqrt{3} \, \text{см}\]

Делим обе части уравнения на \(6 \sqrt{3} \, \text{см}\):
\[6 = \frac{\text{base}}{2}\]

Домножаем обе части уравнения на 2:
\[12 = \text{base}\]

Таким образом, основание треугольника равно 12 см. Поскольку основание треугольника является диаметром вписанного круга, радиус круга будет равен половине диаметра:

Радиус круга = \(\frac{{12 \, \text{см}}}{2} = 6 \, \text{см}\).

Итак, радиус вписанного круга равностороннего треугольника длиной стороны 12 см равен 6 см.