Каков радиус окружности, которая проходит через вершину квадрата, середину одной из его сторон (не содержащей данную

Шустрик

22

Чтобы найти радиус окружности, мы можем использовать теорему о перпендикулярных хордах. Давайте рассмотрим данную задачу.

Пусть сторона квадрата равна \(s\), а центр квадрата обозначим буквой \(O\). Также пусть точка, через которую проходит окружность, обозначена буквой \(A\), а середина стороны, которая не содержит вершину \(A\), обозначена буквой \(B\).

Для начала, найдем длину хорды, которую образует сторона \(AB\). Поскольку \(B\) - середина стороны, а \(O\) - центр квадрата, то отрезок \(BO\) будет равен половине длины стороны \(s\), то есть \(BO = \frac{s}{2}\). Так как хорда \(AB\) проходит через \(B\), она делит сторону \(AO\) пополам. Таким образом, длина хорды \(AB\) равна \(AO = \frac{s}{2}\).

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник \(ABO\), где \(AB\) - гипотенуза, а \(AO\) и \(BO\) - катеты. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна сумме квадратов длин катетов. Применяя эту теорему, получим:

\[AB^2 = AO^2 + BO^2\]
\[AB^2 = \left(\frac{s}{2}\right)^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2\]
\[AB^2 = \frac{s^2}{4} + \frac{s^2}{4} = \frac{2s^2}{4} = \frac{s^2}{2}\]

Теперь, чтобы найти радиус окружности, нам нужно вычислить половину длины хорды \(AB\). Для этого возьмем квадратный корень из длины хорды:

\[AB = \sqrt{\frac{s^2}{2}}\]

Так как радиус окружности является половиной длины хорды, радиус будет равен:

\[r = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{s^2}{2}}\]

Итак, радиус окружности, которая проходит через вершину квадрата, середину одной из его сторон и центр квадрата, равен \(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{s^2}{2}}\).