Каков радиус окружности с центром в точке О на рисунке 192, если угол ∠ADF составляет 63°?

Dmitrievna

37

Для решения данной задачи, нам понадобится знать свойства окружностей и связь между центром окружности и ее радиусом.

В данной задаче, у нас есть треугольник ADO, в котором угол ∠ADF равен 63°. Мы также знаем, что точка О является центром окружности.

Свойство окружностей гласит, что угол, образованный двумя радиусами, равен удвоенному углу, образованному хордой, соответствующей этим радиусам.

Таким образом, угол ∠AOD также равен 63°.

Теперь, поскольку ∠AOD - это центральный угол окружности, его измерение равняется удвоенному измерению угла на обратной стороне окружности, то есть ∠ACB.

Таким образом, ∠ACB = 63° / 2 = 31,5°.

Теперь, радиус окружности образует прямой угол с касательной, проведенной к окружности в точке пересечения касательной и хорды. В данном случае, эта касательная - это отрезок AD.

Поскольку угол ∠ADF составляет 63°, следовательно, угол ∠OAD (прямой угол) равен 90°.

Теперь, применим теорему о правильных треугольниках. Треугольник OAD является прямоугольным треугольником, где один из углов равен 90°. Если угол в правильном треугольнике равен 90°, то остальные два угла (кроме прямого угла) должны быть равными. Таким образом, угол ∠ODA также равен 31,5°.

Теперь, у нас есть прямоугольный треугольник OAD, в котором угол ∠ODA равен 31,5°.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.

Таким образом, ∠ODA + ∠OAD + ∠ODA = 180°.

Подставляя значения, получаем:

31,5° + 90° + 31,5° = 180°.

Суммируя значения, получаем:

153° = 180°.

Таким образом, у нас есть недостающий угол, который оказывается равным 180° - 153° = 27°.

Теперь, поскольку у нас есть прямоугольный треугольник OAD, в котором угол ∠ODA равен 31,5°, мы можем применить связь между углами в прямоугольном треугольнике и соответствующими сторонами.

В прямоугольном треугольнике, соответствующая сторона противоположная углу ∠ODA является гипотенузой. Эта сторона в нашем случае является радиусом окружности.

Таким образом, радиус окружности, обозначенный как r, связан с углом ∠ODA по формуле:

\[\sin(31,5°) = \frac{r}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{r}{\sin(31,5°)}\]

Для решения этого уравнения, нам необходимо знать значение синуса угла 31,5°.

Используя калькулятор или таблицу значений синуса, мы находим, что \(\sin(31,5°) \approx 0,51504\).

Теперь, подставляя это значение в уравнение, получаем:

\[r = \frac{r}{0,51504}\]

Чтобы найти значение r, можем умножить обе стороны уравнения на 0,51504:

\[0,51504 \cdot r = r\]

\[0,51504 \cdot r - r = 0\]

\[0,51504 \cdot r - 1 \cdot r = 0\]

\[(0,51504 - 1) \cdot r = 0\]

\[-0,48496 \cdot r = 0\]

Таким образом, получаем:

\[r = 0 / -0,48496\]

\[r = 0\]

Итак, радиус окружности с центром в точке О на рисунке 192 равен 0.