Каков радиус внутренней окружности, которая касается внешней окружности радиуса 2, а также имеет общую касательную

Ящерка

34

Чтобы найти радиус внутренней окружности, мы можем воспользоваться теоремой о касательных окружностей.

Пусть \(r\) - радиус внутренней окружности, а \(R\) - радиус внешней окружности.

Согласно теореме о касательных окружностей, если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка, соединяющего точку касания с точкой касания общей внешней касательной, равна разности радиусов двух окружностей.

Таким образом, длина этого отрезка составляет \(R - r\) (расстояние между центрами окружностей).

Мы также знаем, что это расстояние равно 3.

Таким образом, у нас имеем уравнение:

\[R - r = 3\]

Но у нас есть еще одно условие: что внутренняя окружность касается внешней окружности. Это означает, что сумма радиусов обеих окружностей равна расстоянию между центрами.

То есть у нас есть еще одно уравнение:

\[r + R = 2\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(r\) и \(R\)):

\[
\begin{align*}
R - r &= 3 \\
r + R &= 2
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, сложив оба уравнения:

\[
2R = 5
\]

Делим оба выражения на 2:

\[
R = \frac{5}{2}
\]

Теперь мы можем найти \(r\) подставив значение \(R\) в любое из уравнений. Давайте возьмем второе уравнение:

\[
r + R = 2
\]

Подставляем значение \(R\):

\[
r + \frac{5}{2} = 2
\]

Вычитаем \(\frac{5}{2}\) из обоих сторон:

\[
r = 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}
\]

Однако мы ищем радиус, который является положительным числом. Исключаем отрицательное значение и получаем:

\(r = \frac{1}{2}\)

Таким образом, радиус внутренней окружности составляет \(r = \frac{1}{2}\).