Какова будет высота, на которую поднимется шарик, если масса шарика составляет 2 грамма, пружина имеет коэффициент

Mandarin

40

Для решения этой задачи нам понадобится закон Гука, который связывает деформацию пружины и приложенную силу. Закон Гука показывает, что сила \(F\) прямо пропорциональна деформации \(x\) и коэффициенту жёсткости \(k\).

Математический вид закона Гука:

\[F = -kx\]

где:
\(F\) - сила, действующая на пружину,
\(x\) - деформация пружины,
\(k\) - коэффициент жёсткости пружины.

В нашей задаче, пружина сжалась на \(x\) метров, а приложенная сила равна массе шарика, умноженной на ускорение свободного падения (\(F = m \cdot g\)). Таким образом, мы можем записать:

\[F = m \cdot g = 0.002 \cdot 9.8 = 0.0196 \, \text{Н}\]

Мы также знаем, что \(F = -kx\). Подставляя значения, получаем:

\[-kx = 0.0196\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно деформации \(x\):

\[x = \frac{{0.0196}}{{k}}\]

Подставляя значение коэффициента жёсткости \(k = 100 \, \text{Н/м}\), получим:

\[x = \frac{{0.0196}}{{100}} = 0.000196 \, \text{м}\]

Теперь у нас есть деформация пружины \(x\). Чтобы определить высоту, на которую поднимется шарик, мы должны учесть кинетическую энергию, которая преобразуется в потенциальную энергию при подъёме шарика.

Кинетическая энергия шарика равна:

\[K = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

где:
\(K\) - кинетическая энергия,
\(v\) - скорость шарика.

Потенциальная энергия шарика равна:

\[P = m \cdot g \cdot h\]

где:
\(P\) - потенциальная энергия,
\(g\) - ускорение свободного падения (\(9.8 \, \text{м/с}^2\)),
\(h\) - высота, на которую поднимется шарик.

Так как кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию, мы можем записать:

\[K = P\]

\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h\]

Подставляя известные значения, получим:

\[\frac{1}{2} \cdot 0.002 \cdot (3)^2 = 0.002 \cdot 9.8 \cdot h\]

\[\frac{1}{2} \cdot 0.002 \cdot 9 = 0.002 \cdot 9.8 \cdot h\]

\[0.009 = 0.0196 \cdot h\]

Теперь решим уравнение относительно высоты \(h\):

\[h = \frac{{0.009}}{{0.0196}} \approx 0.459 \, \text{м}\]

Таким образом, высота, на которую поднимется шарик, составляет примерно 0.459 метра.