Какова частота колебаний тела, которое совершает гармонические колебания по закону х = 0,2sin(4πt)?

Звонкий_Ниндзя

5

Для решения данной задачи нам необходимо определить частоту колебаний тела, которое движется гармонически по заданному закону \(x = 0.2\sin(4\pi t)\). Частота колебаний обозначается символом \(f\) и измеряется в герцах (Гц).

Чтобы определить частоту колебаний, мы должны знать период колебаний, выраженный в секундах (с), по следующей формуле:

\[T = \frac{1}{f}\]

Здесь \(T\) обозначает период колебаний, а \(f\) - искомую частоту колебаний.

Из заданного закона движения, мы видим, что тело движется синусоидально в зависимости от времени \(t\), а именно: \(x = 0.2\sin(4\pi t)\). Для нахождения периода колебаний, мы должны найти интервал времени между двумя последовательными моментами, когда тело находится в одной и той же точке своего движения.

Период колебаний можно получить, найдя время \(t_1\) и \(t_2\), между которыми значение \(x\) повторяется. В данном случае, мы видим, что амплитуда колебаний \(0.2\) и частота колебаний \(4\pi\). Зная, что синусоида повторяется каждые \(2\pi\) радиан, можем установить соотношение между \(t\), \(2\pi\) и \(4\pi\):

\[4\pi t_1 = 2\pi \Rightarrow t_1 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}\]

То есть, значение \(x\) идентично при \(t = \frac{1}{2}\). Рассмотрим также случай, когда значение \(x\) повторяется для другого значения времени \(t_2\):

\[4\pi t_2 = 4\pi \Rightarrow t_2 = \frac{4\pi}{4\pi} = 1\]

Итак, мы получили, что \(t_2\) равно \(1\). Теперь мы можем найти период колебаний \(T\), выразив его через разность между \(t_2\) и \(t_1\):

\[T = t_2 - t_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]

Используя формулу периода колебаний \(T = \frac{1}{f}\), мы можем найти частоту колебаний \(f\). Подставим значение периода колебаний в данную формулу:

\[\frac{1}{2} = \frac{1}{f}\]

Из этого получаем:

\[f = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\]

Таким образом, частота колебаний тела, движущегося с законом \(x = 0.2\sin(4\pi t)\), составляет \(2\) герца.