Какова длина боковой стороны равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 45°, а площадь равна 20√2 см2?

Скрытый_Тигр_1745

49

Дано: угол при вершине равнобедренного треугольника \( \angle A = 45° \) и площадь треугольника \( S = 20\sqrt{2} \) см\(^2\).

Чтобы найти длину боковой стороны треугольника, можно воспользоваться известной формулой для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{C}, \]

где \( a \) и \( b \) - длины сторон треугольника, а \( C \) - угол между этими сторонами.

Так как у нас равнобедренный треугольник, то стороны \( a \) и \( b \) равны. Пусть длина боковой стороны равна \( x \). Тогда площадь треугольника можно записать следующим образом:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \sin{45°}. \]

У нас известно, что \( \sin{45°} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), поэтому мы можем переписать уравнение:

\[ 20\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Чтобы избавиться от множителя \( \frac{1}{2} \), умножим обе части уравнения на 2:

\[ 40\sqrt{2} = x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Для упрощения уравнения укажем, что \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ 40\sqrt{2} = x^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Далее, чтобы избавиться от множителя \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), поделим обе части уравнения на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ \frac{40\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = x^2. \]

Упростим выражение:

\[ 40 \cdot 2 = x^2. \]

Получаем:

\[ 80 = x^2. \]

Чтобы найти значение \( x \), избавимся от квадрата, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[ x = \sqrt{80}. \]

Сократим корень:

\[ x = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}. \]

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна \( 4\sqrt{5} \) см.