Какова длина большей из двух боковых сторон прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность радиусом 8

Petr

63

Для начала, давайте разберемся с определением средней линии. Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины двух непараллельных сторон. В нашей задаче, это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Поскольку окружность вписана в трапецию, давайте обратимся к свойствам окружности, чтобы получить информацию о средней линии и боковых сторонах трапеции.

Свойство окружности, заключающееся в том, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, будет полезным для нашего решения.

Так как радиус окружности проведен к точке касания с одной из боковых сторон трапеции, мы можем построить прямоугольный треугольник, где радиус является гипотенузой, а отрезок, соединяющий середины трапеции, - одним из катетов. Пусть длина средней линии трапеции будет \(l\), а длина большей из двух боковых сторон - \(x\).

Мы знаем, что радиус окружности равен 8 см, поэтому гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Также, у нас есть теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длины катетов. Таким образом, мы можем записать следующее:

\[8^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + l^2\]

Решим это уравнение для неизвестной длины боковой стороны \(x\):

\[64 = \frac{x^2}{4} + l^2\]

У нас также есть еще одно полезное свойство трапеции. Сумма квадратов длин ее боковых сторон равна сумме квадратов длин ее диагоналей:

\[x^2 + l^2 = a^2 + b^2\]

Где \(a\) и \(b\) - это длины диагоналей трапеции. Но у нас нет информации о длинах диагоналей, поэтому мы не можем решить это уравнение непосредственно.

Однако нам известно, что сумма диагоналей трапеции равна периметру окружности, вписанной в трапецию. Пусть периметр окружности составляет \(P\) см. Тогда мы можем записать:

\[a + b = P\]

А поскольку диагонали трапеции делят ее на два прямоугольных треугольника, мы можем записать следующее:

\[a = \frac{x}{2} + 8\]
\[b = \frac{x}{2} + 8\]

Подставим эти значения в уравнение для суммы квадратов:

\[x^2 + l^2 = \left(\frac{x}{2} + 8\right)^2 + \left(\frac{x}{2} + 8\right)^2\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + l^2 = \frac{x^2}{4} + 8x + 64 + \frac{x^2}{4} + 8x + 64\]

Объединим подобные слагаемые:

\[x^2 + l^2 = \frac{x^2}{2} + 16x + 128\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[64 = \frac{x^2}{4} + l^2\]
\[x^2 + l^2 = \frac{x^2}{2} + 16x + 128\]

Мы можем решить эту систему уравнений для неизвестных \(x\) и \(l\), чтобы найти длину боковой стороны трапеции и средней линии.

\[x = 12\sqrt{2} \approx 16.97 \,см\]
\[l = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \,см\]

Таким образом, длина большей из двух боковых сторон прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность радиусом 8 см и средняя линия равна 5.66 см, равна приблизительно 16.97 см.