Какова длина большей из двух боковых сторон прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность радиусом 8

Petr

63

Для начала, давайте разберемся с определением средней линии. Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины двух непараллельных сторон. В нашей задаче, это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Поскольку окружность вписана в трапецию, давайте обратимся к свойствам окружности, чтобы получить информацию о средней линии и боковых сторонах трапеции.

Свойство окружности, заключающееся в том, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, будет полезным для нашего решения.

Так как радиус окружности проведен к точке касания с одной из боковых сторон трапеции, мы можем построить прямоугольный треугольник, где радиус является гипотенузой, а отрезок, соединяющий середины трапеции, - одним из катетов. Пусть длина средней линии трапеции будет $l$, а длина большей из двух боковых сторон - $x$.

Мы знаем, что радиус окружности равен 8 см, поэтому гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Также, у нас есть теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длины катетов. Таким образом, мы можем записать следующее:

$$8^2={\left(\frac{x}{2}\right)}^2+l^2$$

Решим это уравнение для неизвестной длины боковой стороны $x$:

$$64=\frac{x^2}{4}+l^2$$

У нас также есть еще одно полезное свойство трапеции. Сумма квадратов длин ее боковых сторон равна сумме квадратов длин ее диагоналей:

$$x^2+l^2=a^2+b^2$$

Где $a$ и $b$ - это длины диагоналей трапеции. Но у нас нет информации о длинах диагоналей, поэтому мы не можем решить это уравнение непосредственно.

Однако нам известно, что сумма диагоналей трапеции равна периметру окружности, вписанной в трапецию. Пусть периметр окружности составляет $P$ см. Тогда мы можем записать:

$$a+b=P$$

А поскольку диагонали трапеции делят ее на два прямоугольных треугольника, мы можем записать следующее:

$$a=\frac{x}{2}+8$$
$$b=\frac{x}{2}+8$$

Подставим эти значения в уравнение для суммы квадратов:

$$x^2+l^2={(\frac{x}{2}+8)}^2+{(\frac{x}{2}+8)}^2$$

Раскроем скобки:

$$x^2+l^2=\frac{x^2}{4}+8x+64+\frac{x^2}{4}+8x+64$$

Объединим подобные слагаемые:

$$x^2+l^2=\frac{x^2}{2}+16x+128$$

Теперь у нас есть два уравнения:

$$64=\frac{x^2}{4}+l^2$$
$$x^2+l^2=\frac{x^2}{2}+16x+128$$

Мы можем решить эту систему уравнений для неизвестных $x$ и $l$, чтобы найти длину боковой стороны трапеции и средней линии.

$$x=12\sqrt{2}\approx 16.97см$$
$$l=4\sqrt{2}\approx 5.66см$$

Таким образом, длина большей из двух боковых сторон прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность радиусом 8 см и средняя линия равна 5.66 см, равна приблизительно 16.97 см.