Какова длина большой полуоси орбиты Урана вокруг Солнца, если период обращения этой планеты составляет 84 года?

Eva

42

Для того чтобы решить данную задачу, нам понадобится закон Кеплера, который гласит: "Квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси орбиты". Обозначим период обращения планеты Уран вокруг Солнца как \(T\), а большую полуось орбиты как \(a\).

Имеем следующее соотношение:

\[T^2 = k \cdot a^3\]

где \(k\) - некоторая постоянная.

Чтобы выразить \(a\), нам необходимо найти значение постоянной \(k\). Для этого мы воспользуемся известным фактом: расстояние Земли до Солнца (\(a_0\)) и период обращения Земли вокруг Солнца (\(T_0\)) связаны соотношением \(T_0^2 = k \cdot a_0^3\).

Подставляем значения для Земли:

\[T_0 = 1 \text{ год} = 365.25 \text{ дней}\]
\[a_0 = 1 \text{ астрономическая единица (а.е.)} = 1.496 \times 10^8 \text{ км}\]

Теперь можем найти значение постоянной \(k\):

\[k = \frac{T_0^2}{a_0^3} = \frac{(365.25)^2}{(1.496 \times 10^8)^3} = 0.000000000000114\]

Теперь мы можем вычислить длину большой полуоси орбиты Урана:

\[T = 84 \text{ года} = 84 \times 365.25 \text{ дней}\]

Подставляем полученные значения в формулу:

\[T^2 = k \cdot a^3\]
\[(84 \times 365.25)^2 = 0.000000000000114 \cdot a^3\]
\[a^3 = \frac{(84 \times 365.25)^2}{0.000000000000114}\]
\[a = \sqrt[3]{\frac{(84 \times 365.25)^2}{0.000000000000114}}\]
\[a \approx 19.18 \text{ а.е.}\]

Таким образом, длина большой полуоси орбиты Урана составляет примерно 19.18 астрономических единиц.