Какова длина медианы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 120° и боковая

Horek_1709

61

Хорошо, давайте решим эту задачу. Наша цель - найти длину медианы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Для начала, нам понадобится рассмотреть свойства равнобедренных треугольников. В равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, а угол при вершине, расположенной у основания, является остроугольным углом. Также известно, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам.

У нас дан угол при вершине равный 120° и значение боковой стороны равно 47,8. Мы можем использовать эти данные для нахождения остальных сторон треугольника.

Для начала нам понадобится найти длину основания треугольника. Поскольку медиана делит основание пополам, мы можем поделить длину боковой стороны пополам:
\[основание = \frac{{47.8}}{{2}} = 23.9\]

Теперь нам нужно найти длину боковой стороны треугольника, которая также равна высоте, опущенной из вершины на это основание. Для этого мы можем использовать теорему синусов:
\[\frac{{основание}}{{\sin(угол при вершине)}} = \frac{{боковая\ сторона}}{{\sin(дополнительный\ угол\ при\ основании)}}\]

Можем переписать эту формулу для нахождения длины боковой стороны:
\[боковая\ сторона = основание \times \frac{{\sin(дополнительный\ угол\ при\ основании)}}{{\sin(угол при вершине)}}\]

Дополнительный угол при основании равен половине суммы углов при основании:
\[дополнительный\ угол\ при\ основании = \frac{{180° - угол\ при\ вершине}}{2} = \frac{{180° - 120°}}{2} = 30°\]

Теперь мы можем рассчитать длину боковой стороны:
\[боковая\ сторона = 23.9 \times \frac{{\sin(30°)}}{{\sin(120°)}}\]
\[боковая\ сторона = 23.9 \times \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}} = 23.9 \times \frac{1}{{\sqrt{3}}} = \frac{{23.9}}{{\sqrt{3}}}\]

Наконец, чтобы найти длину медианы, проведенной к основанию, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
\[медиана^2 = \left(\frac{{боковая\ сторона}}{2}\right)^2 + (боковая\ сторона)^2\]

Подставим значения и найдем длину медианы:
\[медиана^2 = \left(\frac{{\frac{{23.9}}{{\sqrt{3}}}}{2}\right)^2 + \left(\frac{{23.9}}{{\sqrt{3}}}\right)^2\]
\[медиана^2 = \frac{{23.9^2}}{{12}} + \frac{{23.9^2}}{{3}}\]
\[медиана^2 = \frac{{573.21}}{{12}} + \frac{{573.21}}{{3}}\]
\[медиана^2 = 47.7675 + 191.067\]
\[медиана^2 = 238.8345\]
\[медиана \approx \sqrt{238.8345} \approx 15,46\]

Таким образом, длина медианы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, при условии угла при вершине равном 120° и боковой стороне 47,8, составляет около 15,46.