Какова длина наименьшего пути между дачными посёлками А и Б, если передвижение осуществляется только по дорогам

Константин_2651

42

Для решения данной задачи, мы можем использовать алгоритм Дейкстры. Алгоритм Дейкстры позволяет находить кратчайшие пути во взвешенных графах без отрицательных ребер. В данной задаче одна дача соединена с другой дорогой, и нам нужно найти кратчайший путь между ними.

Давайте представим, что дачные поселки и дороги между ними образуют граф. Создадим таблицу, в которой поселкам А и Б соответствуют вершины графа, а дорогам - ребра. Вес каждого ребра будет соответствовать протяженности соответствующей дороги.

Пошаговое решение:

1. Создаем таблицу с двумя колонками: "Вершина" и "Расстояние". Изначально заполняем таблицу следующим образом:
- Вершине А соответствует расстояние 0, а остальным вершинам - бесконечность.

2. Выбираем вершину с минимальным расстоянием из таблицы. Начинаем с вершины А.

3. Рассмотрим все смежные с выбранной вершиной вершины и обновим их расстояния в таблице, если новое расстояние меньше, чем текущее.
- Например, если текущее расстояние до вершины Б равно бесконечности, а расстояние до Б через выбранную вершину меньше текущего значения в таблице, то обновляем расстояние до Б.

4. Повторяем шаги 2 и 3, пока не посетим все вершины графа.

5. Когда путь до вершины Б стал равен конечному значению, мы можем считать, что нашли наименьшую длину пути между дачными поселками А и Б.

После завершения алгоритма Дейкстры, мы можем считать значение в ячейке "Расстояние" для вершины Б как длину наименьшего пути между дачными поселками А и Б.

Итак, давайте реализуем алгоритм Дейкстры для данной задачи и найдем длину наименьшего пути между дачными поселками А и Б, используя таблицу с протяженностями дорог:

| Дорога | Протяженность |
|--------|--------------|
| А-Б | 10 |
| А-В | 5 |
| В-Б | 3 |
| В-С | 2 |
| С-Д | 7 |
| Д-Б | 8 |

Таблица для алгоритма Дейкстры:

| Вершина | Расстояние |
|---------|-----------|
| А | 0 |
| Б | infinity |
| В | infinity |
| С | infinity |
| Д | infinity |

Теперь приступим к решению:
1. Начинаем с вершины А.

2. Выбираем вершину с минимальным расстоянием, это А. Обновляем таблицу:
- Вершине Б соответствует расстояние 10.

3. Теперь рассмотрим вершину В. Расстояние до В через А равно 5. Обновляем таблицу:
- Вершине В соответствует расстояние 5.

4. Рассмотрим вершину С. Расстояние до С через В равно 5 + 2 = 7, что меньше бесконечности. Обновляем таблицу:
- Вершине С соответствует расстояние 7.

5. Рассмотрим вершину Д. Расстояние до Д через С равно 7 + 7 = 14, что меньше бесконечности. Обновляем таблицу:
- Вершине Д соответствует расстояние 14.

6. Рассмотрим вершину Б. Расстояние до Б через В равно 5 + 3 = 8, что меньше 10. Обновляем таблицу:
- Вершине Б соответствует расстояние 8.

7. Мы посетили все вершины графа, а значит, завершили выполнение алгоритма Дейкстры.

Таким образом, длина наименьшего пути между дачными поселками А и Б составляет 8.