Какова длина стороны AC параллелограмма ABCD, если периметр равен 36 см? Какова высота треугольника ABC, если

Letuchiy_Mysh

14

Давайте начнем с первой задачи, где мы должны найти длину стороны AC параллелограмма ABCD, если периметр равен 36 см.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать некоторые свойства параллелограмма. Одно из таких свойств заключается в том, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны друг другу.

Периметр параллелограмма можно найти, сложив длины всех его сторон. Дано, что периметр равен 36 см. Изобразим параллелограмм ABCD:

       A__________B

      /|         /|

     / |        / |

    /  |       /  |

   D__________C   |

   |   |      |   |

   |   |______|___|

   |  /       |  /

   | /        | /

   |/_________|/

Пусть стороны AB и BC имеют длины a и b соответственно. Так как параллелограмм имеет противоположные стороны равными, то стороны AD и CD также имеют длины a и b соответственно.

Следовательно, периметр равен сумме всех сторон: 2a + 2b = 36.

Разделим данное уравнение на 2, чтобы упростить его: a + b = 18.

Таким образом, мы получаем уравнение с двумя неизвестными. Однако, нам даны еще несколько сведений, которые помогут нам решить задачу.

Из свойства параллелограмма мы знаем, что угол ABC равен углу CDA, так как это противолежащие углы. Значит, треугольники ABC и CDA подобны.

Теперь, с помощью свойств подобных треугольников, мы можем использовать отношение длин сторон, чтобы найти отношение сторон AC и BC.

Так как AB и CD имеют одинаковую длину, а BC и AD имеют одинаковую длину (по свойству параллелограмма), то мы можем записать отношение сторон треугольников ABC и CDA следующим образом: \(\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{AC}\).

Теперь мы можем решить это уравнение. Пусть \(x\) будет длиной стороны AC.

Тогда \(\frac{x}{b} = \frac{b}{x}\).

Умножим обе стороны на \(x\) и получим \(x^2 = b^2\).

Возьмем корень из обеих сторон и получим \(x = b\).

Таким образом, длина стороны AC равна длине стороны BC, а следовательно, обе стороны равны \(\frac{1}{2}\) периметра параллелограмма: \(\frac{1}{2} \cdot 36 = 18\) см.

Теперь перейдем ко второй задаче, где нужно найти высоту треугольника ABC при известном периметре 28 см и угле ACB равном 30°.

На данной диаграмме треугольник ABC:

         A

        / \

     c /   \ a

      /     \

     /_______\

    B    b    C

Дано, что периметр треугольника равен 28 см. То есть, сумма длин всех трех сторон равна 28. Обозначим длины сторон треугольника как a, b и c.

Так как периметр равен сумме сторон, мы можем записать уравнение: a + b + c = 28.

Также известно, что угол ACB равен 30°. Поскольку угол ACB против линии a, мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны c.

Закон синусов можно записать следующим образом: \(\frac{c}{\sin(\angle ACB)} = \frac{a}{\sin(\angle ABC)}\).

В данном случае, угол ABC также равен 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°), поэтому мы можем переписать уравнение: \(\frac{c}{\sin(30°)} = \frac{a}{\sin(30°)}\).

Таким образом, у нас получается, что c = a.

Теперь, учитывая, что сумма всех сторон равна 28, мы можем записать следующее уравнение: a + a + a = 28.

Решая уравнение, получим 3a = 28.

Делим обе стороны на 3 и получаем a = \(\frac{28}{3}\) см.

Таким образом, одна сторона треугольника ABC равна \(\frac{28}{3}\) см.

Теперь мы знаем длину стороны a, и так как угол ACB равен 30°, мы можем использовать формулу для высоты треугольника h, опущенной на основание a:

\[h = a \cdot \sin(\angle ACB)\]

Подставляя известные значения, получим:

\[h = \frac{28}{3} \cdot \sin(30°)\]

Вычисляя \(h\), получаем:

\[h \approx 16,13\] см.

Таким образом, высота треугольника ABC при данных условиях равна около 16,13 см.