Какова длина стороны треугольника, если сходственная ей сторона другого треугольника имеет длину 8, а площади двух

Zhemchug

4

Данная задача связана с подобием треугольников и позволяет нам найти длину стороны одного из треугольников. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать соотношение сторон подобных треугольников и соотношение их площадей.

Для начала, обратимся к соотношению сторон подобных треугольников. В задаче сказано, что одна сторона сходственного треугольника имеет длину 8. Обозначим эту сторону как \(a\). Мы должны найти длину соответствующей ей стороны в другом треугольнике. Обозначим эту сторону как \(b\).

Известно, что соотношение сторон подобных треугольников равно:
\[\frac{a}{b} = \frac{8}{b}\]

Теперь обратимся к соотношению площадей подобных треугольников. В задаче сказано, что площади двух подобных треугольников равны 25 и 16 соответственно. Обозначим площади этих треугольников как \(S_1\) и \(S_2\). Соотношение площадей треугольников определяется как:
\[\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \left(\frac{8}{b}\right)^2\]

Теперь мы можем записать два уравнения для решения задачи. Первое уравнение связывает соотношение сторон, а второе уравнение связывает соотношение площадей треугольников. Решим систему этих уравнений.

Первое уравнение:
\[\frac{a}{b} = \frac{8}{b}\]

Домножим обе части уравнения на \(b\):
\[a = 8\]

Второе уравнение:
\[\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \left(\frac{8}{b}\right)^2\]

Подставим значение \(a = 8\) в это уравнение:
\[\frac{25}{16} = \left(\frac{8}{b}\right)^2\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[\left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{8^2}{b^2}\]

Раскроем квадрат и решим уравнение:
\[\frac{25}{16} = \frac{64}{b^2}\]

Перемножим обе части уравнения на \(b^2\):
\[25b^2 = 64\]

Разделим обе части уравнения на 25:
\[b^2 = \frac{64}{25}\]

Извлечем квадратный корень:
\[b = \pm \frac{8}{5}\]

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, исключим отрицательное значение и получим \(b = \frac{8}{5}\).

Таким образом, длина стороны треугольника равна \(\frac{8}{5}\).

Изображение и более детальное решение можно найти в прикрепленной фотографии.