Какова длина третьей стороны треугольника, если две другие стороны равны 5 см и 13 см, а синус угла между ними равен

Kosmos

50

Чтобы найти длину третьей стороны треугольника, нам понадобится использовать закон синусов. Закон синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно постоянной величине.

В данном случае у нас есть две известные стороны треугольника: 5 см и 13 см, а также значение синуса угла между ними: 2√6/5.

Используя закон синусов, мы можем записать следующее уравнение:

\[
\frac{{\text{{длина стороны 5 см}}}}{{\sin A}} = \frac{{\text{{длина стороны 13 см}}}}{{\sin B}}
\]

где A - угол против стороны 5 см, а B - угол против стороны 13 см.

Для решения уравнения нам необходимо найти значение синуса угла, противоположного стороне 5 см. Мы знаем, что \(\sin A = \frac{{2\sqrt{6}}}{{5}}\), поэтому можем записать:

\[
\frac{{5}}{{\frac{{2\sqrt{6}}}{{5}}}} = \frac{{13}}{{\sin B}}
\]

После упрощения получаем:

\[
\sin B = \frac{{5 \cdot 13}}{{2\sqrt{6}}} = \frac{{65}}{{2\sqrt{6}}}
\]

Теперь, чтобы найти длину третьей стороны треугольника, можно использовать закон синусов ещё раз:

\[
\frac{{\text{{длина стороны 5 см}}}}{{\sin B}} = \frac{{\text{{длина стороны 3}}}}{{\sin A}}
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
\frac{{5}}{{\frac{{65}}{{2\sqrt{6}}}}} = \frac{{\text{{длина стороны 3}}}}{{\frac{{2\sqrt{6}}}{{5}}}}
\]

Упрощая дробь, получаем:

\[
\frac{{5 \cdot 2\sqrt{6}}}{{65}} = \frac{{\text{{длина стороны 3}}}}{{\frac{{2\sqrt{6}}}{{5}}}}
\]

Перемножим дроби и упростим:

\[
\frac{{10\sqrt{6}}}{{65}} = \frac{{\text{{длина стороны 3}} \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6}}}{{2\sqrt{6}}}
\]

Делая сокращения, получаем:

\[
\frac{{10}}{{65}} = \text{{длина стороны 3}}
\]

Поэтому, третья сторона треугольника равна \(\frac{{10}}{{65}}\) см, что можно упростить:

\[
\text{{длина стороны 3}} = \frac{{2}}{{13}} \text{{ см}}
\]