Какова должна быть наименьшая сторона квадрата, чтобы его стальной стержень квадратного сечения с усилием F = 120

Tatyana

5

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать закон Гука, который связывает напряжение, удлинение и модуль упругости:

\[\sigma = \frac{F}{A},\]

где \(\sigma\) - напряжение, \(F\) - усилие, а \(A\) - площадь поперечного сечения стального стержня.

Также, используя формулу Гука, можем записать выражение для удлинения стержня:

\[\frac{\Delta L}{L} = \frac{\sigma}{E},\]

где \(\Delta L\) - изменение длины стержня, \(L\) - исходная длина стержня, а \(E\) - модуль упругости стали.

Для начала, посчитаем площадь поперечного сечения квадрата, что будет соответствовать стальному стержню:

\[A = a^2,\]

где \(a\) - длина стороны квадрата.

Теперь, мы можем записать условие для напряжения:

\[\frac{F}{A} \leq \sigma_{max},\]

где \(\sigma_{max}\) - максимальное допустимое напряжение стали.

Если мы совместим эти два выражения, то получим:

\[\frac{F}{a^2} \leq \sigma_{max}.\]

Также, у нас есть условие для относительного удлинения:

\[\frac{\Delta L}{L} = \frac{\sigma_{max}}{E} \leq \frac{I}{2000}.\]

Мы хотим найти наименьшую длину стороны \(a\), которая удовлетворит обоим условиям. Для этого произведем математические преобразования.

Сначала выразим допустимое удлинение \(\Delta L\) через данное значение \(a\):

\[\Delta L = \frac{a \sigma_{max}}{E}.\]

Затем, используем формулу для допустимого удлинения:

\[\frac{a \sigma_{max}}{E} \leq \frac{I}{2000}.\]

Далее, выразим значение \(\sigma_{max}\) через \(a\) и \(E\):

\[\sigma_{max} \leq \frac{a^2 E}{I} \cdot \frac{1}{2000}.\]

И, наконец, используем формулу для допустимого напряжения:

\[\frac{F}{a^2} \leq \frac{a^2 E}{I} \cdot \frac{1}{2000}.\]

После сокращения \(a^2\) обеих частей неравенства на \(a\), получим следующее уравнение:

\[F \leq \frac{E}{2000I} \cdot a^3.\]

Теперь мы можем найти наименьшее значение стороны квадрата, зная все известные данные:

\[a \geq \sqrt[3]{\frac{2000IF}{E}}.\]

Таким образом, наименьшая сторона квадрата, чтобы его стальной стержень не превышал заданные значения удлинения и напряжения, будет равна или больше \(\sqrt[3]{\frac{2000IF}{E}}\).