Какова ёмкость C конденсатора колебательного контура, если сила тока в контуре изменяется по закону i(t) = 0.25cos

Serdce_Okeana_6075

18

Хорошо, давайте посмотрим, как найти ёмкость \(C\) конденсатора в данном колебательном контуре. Формула, связывающая емкость конденсатора, индуктивность катушки и период колебаний, имеет вид:

\[T = 2\pi\sqrt{LC}\]

где \(T\) - период колебаний (выраженный в секундах), \(L\) - индуктивность катушки (в генри), а \(C\) - ёмкость конденсатора (в фарадах).

Из задачи мы знаем, что сила тока в контуре изменяется по закону \(i(t) = 0.25\cos(200\pi t) \, \text{А}\). Чтобы найти период колебаний \(T\), нам необходимо найти значение времени \(t\), при котором функция \(i(t)\) совпадает с начальным значением (в данном случае \(0.25 \, \text{А}\)) впервые после 1 полного колебания.

Так как у нас гармоническая функция, то синусоида будет выполняться при \(t = \frac{\pi}{2\omega}\), где \(\omega\) - угловая частота, определяемая формулой \(\omega = 2\pi f\), где \(f\) - частота колебаний. В данной задаче нам дана \(f = \frac{1}{2\pi} \, \text{Гц}\).

Теперь найдем период колебаний \(T\):

\[T = \frac{1}{f} = \frac{1}{\frac{1}{2\pi}} = 2\pi \, \text{с}\]

Мы нашли период колебаний \(T = 2\pi \, \text{с}\).

Используя формулу \(T = 2\pi\sqrt{LC}\), мы можем найти \(C\):

\[2\pi\sqrt{LC} = T\]
\[2\pi\sqrt{L}\sqrt{C} = T\]
\[\sqrt{C} = \frac{T}{2\pi\sqrt{L}}\]
\[C = \left(\frac{T}{2\pi\sqrt{L}}\right)^2\]

Подставляя найденное значение периода \(T = 2\pi\) и значение индуктивности \(L = 25 \, \text{мГн}\), мы можем найти значение для ёмкости \(C\):

\[C = \left(\frac{2\pi}{2\pi\sqrt{25 \cdot 10^{-3}}}\right)^2\]

Теперь проведем вычисления и найдем значение ёмкости \(C\):

\[C = \left(\frac{2\pi}{2\pi \cdot 5 \cdot 10^{-3}}\right)^2\]
\[C = \left(\frac{1}{5 \cdot 10^{-3}}\right)^2\]
\[C = \left(\frac{1}{5 \cdot 10^{-3}}\right)^2\]
\[C = \left(\frac{1}{5 \cdot 10^{-3}}\right)^2 = \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = \left(200\right)^2 = 40000 \, \text{Ф}\]

Таким образом, ёмкость конденсатора \(C\) в данном колебательном контуре равна \(40000\) фарад.