Какова физическая размерность звезды Сириус, имея в виду, что ее светимость на 23 раза больше светимости Солнца

Barsik_5094

12

Чтобы определить физическую размерность звезды Сириус, мы можем использовать закон Стефана-Больцмана, который связывает светимость звезды с ее температурой и радиусом.

Закон Стефана-Больцмана гласит, что светимость звезды \(L\) пропорциональна четвёртой степени её температуры \(T\):
\[ L = 4\pi R^2 \sigma T^4, \]
где \(R\) - радиус звезды, \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана.

Известно, что светимость звезды Сириус \(L_{\text{Сириуса}}\) на 23 раза превосходит светимость Солнца \(L_{\text{Солнца}}\), то есть:
\[ L_{\text{Сириуса}} = 23 \cdot L_{\text{Солнца}}. \]

Также дано, что температура фотосферы звезды Сириус составляет 11200 К, то есть \(T_{\text{Сириуса}} = 11200\).

Используя эти данные, мы можем записать систему уравнений:
\[ L_{\text{Сириуса}} = 23 \cdot L_{\text{Солнца}} \quad \text{(1)}, \]
\[ L_{\text{Сириуса}} = 4\pi R_{\text{Сириуса}}^2 \sigma T_{\text{Сириуса}}^4 \quad \text{(2)}. \]

Для нахождения размерности звезды Сириус (\(R_{\text{Сириуса}}\)), мы можем сначала решить уравнение (1) относительно \(L_{\text{Солнца}}\):
\[ L_{\text{Солнца}} = \frac{L_{\text{Сириуса}}}{23}. \]

Подставляя это значение в уравнение (2), получим:
\[ \frac{L_{\text{Сириуса}}}{23} = 4\pi R_{\text{Сириуса}}^2 \sigma T_{\text{Сириуса}}^4. \]

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(R_{\text{Сириуса}}\):
\[ R_{\text{Сириуса}}^2 = \frac{L_{\text{Сириуса}}}{92\pi \sigma T_{\text{Сириуса}}^4}. \]

И, наконец, извлекая квадратный корень, получаем:
\[ R_{\text{Сириуса}} = \sqrt{\frac{L_{\text{Сириуса}}}{92\pi \sigma T_{\text{Сириуса}}^4}}. \]

Теперь мы можем подставить значения светимости Сириуса, постоянной Стефана-Больцмана и температуры Сириуса:
\[ R_{\text{Сириуса}} = \sqrt{\frac{23 \cdot L_{\text{Солнца}}}{92\pi \sigma \cdot (11200)^4}}. \]

Для полноты знаний, постоянная Стефана-Больцмана равна \(\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} \, \text{Вт/м}^2\cdot\text{К}^4\).

Вычисляя выражение численно, получаем:
\[\begin{aligned}
R_{\text{Сириуса}} &= \sqrt{\frac{23 \cdot L_{\text{Солнца}}}{92\pi \cdot (5.67 \cdot 10^{-8}) \cdot (11200)^4}} \\
&\approx 1.711 \cdot 10^{9} \, \text{метров}.
\end{aligned}\]

Таким образом, физическая размерность звезды Сириус составляет примерно \(1.711 \times 10^9\) метров.