Какова координата точки максимума функции y=ln(x+14)^11-11x+7?

Сладкий_Пират

24

Хорошо, давайте посчитаем координаты точки максимума функции \(y = \ln(x+14)^{11} - 11x + 7\).

Чтобы найти координаты точки максимума, мы сначала должны найти производную функции и приравнять ее к нулю, а затем решить полученное уравнение.

Как вы знаете, производная функции \(y = \ln(x+14)^{11} - 11x + 7\) может быть найдена путем применения правила производной сложной функции. Правило гласит: если у нас есть функция \(f(u) = u^n\), где \(u\) - это функция другой переменной, то производная этой функции равна \(f"(u) = n \cdot u^{(n-1)} \cdot u"\). Применяя это правило к нашей функции, мы получаем:

\[\frac{dy}{dx} = 11 \cdot (\ln(x+14))^{10} \cdot \frac{1}{x+14} - 11\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[11 \cdot (\ln(x+14))^{10} \cdot \frac{1}{x+14} - 11 = 0\]

Вынесем общий множитель 11:

\[(\ln(x+14))^{10} \cdot \frac{1}{x+14} - 1 = 0\]

Теперь учтем, что \((\ln(x+14))^{10} \neq 0\) и умножим обе части уравнения на \((\ln(x+14))^{10}\):

\[\frac{1}{x+14} - (\ln(x+14))^{10} = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение. Если мы переместим \((\ln(x+14))^{10}\) на другую сторону, то получим:

\[\frac{1}{x+14} = (\ln(x+14))^{10}\]

Теперь возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{10}\), чтобы избавиться от степени 10:

\[\left(\frac{1}{x+14}\right)^{\frac{1}{10}} = \ln(x+14)\]

Таким образом, мы получили равенство между натуральным логарифмом и обратной функцией. Чтобы найти значение переменной \(x\), мы должны обратить функции:

\[x + 14 = \left(\left(\frac{1}{x+14}\right)^{\frac{1}{10}}\right)^{-1}\]

Вычислим обратное значение и решим уравнение:

\[x + 14 = \left(\frac{1}{\left(\left(\frac{1}{x+14}\right)^{\frac{1}{10}}\right)}\right)\]

\[x + 14 = (x+14)^{\frac{1}{10}}\]

Для решения этого уравнения мы можем утверждать следующее: если два числа равны, то их степени 10 тоже равны. Так что мы можем возвести обе части уравнения в 10-ю степень:

\[(x+14)^{10} = (x+14)\]

Полученное уравнение уже проще, и мы можем решить его. Раскроем скобки:

\[x^{10} + 14 = x + 14\]

\[x^{10} - x = 0\]

Здесь, очевидно, фактор \(x\) можно вынести за скобки:

\[x(x^9 - 1) = 0\]

Затем мы можем разделить уравнение на \(x\) и решить два подуравнения:

1) \(x = 0\)

2) \(x^9 - 1 = 0\)

Для первого подуравнения \(x = 0\) можно сразу найти значение. Но для второго подуравнения нам понадобится немного больше времени.

Решим \(x^9 - 1 = 0\). Для этого добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

\[x^9 = 1\]

Теперь возведем обе части в 1/9 степень, чтобы избавиться от степени 9:

\[x = 1^{\frac{1}{9}}\]

\[x = 1\]

Таким образом, мы получили два решения уравнения \(x = 0\) и \(x = 1\).

Теперь, чтобы найти координаты точки максимума, мы подставим каждое значение \(x\) обратно в исходную функцию \(y = \ln(x+14)^{11} - 11x + 7\) и получим соответствующие значения для \(y\).

1) Подставим \(x = 0\):

\[y = \ln((0+14)^{11}) - 11 \cdot 0 + 7\]

\[y = \ln(14^{11}) + 7\]

\[y = 11 \ln(14) + 7\]

2) Подставим \(x = 1\):

\[y = \ln((1+14)^{11}) - 11 \cdot 1 + 7\]

\[y = \ln(15^{11}) - 11 + 7\]

\[y = 11 \ln(15) - 4\]

Таким образом, координаты точки максимума функции \(y = \ln(x+14)^{11} - 11x + 7\) равны \((0, 11 \ln(14) + 7)\) и \((1, 11 \ln(15) - 4)\).