Какова координата x0 точки, где потенциальная энергия частицы равна потенциальной энергии в точке x=0 м, при движении

Svetlyy_Mir

48

Для решения этой задачи, нам нужно установить координату \(x_0\) точки, где потенциальная энергия частицы равна потенциальной энергии в точке \(x = 0\, \text{м}\).

Потенциальная энергия частицы может быть найдена как интеграл от силы \(F\) по координате \(x\):

\[
U(x) = - \int F(x) \, dx
\]

Дано, что сила \(F\) определяется следующим образом:

\[
F(x) = ax - bx^2
\]

Подставим эту силу в формулу для потенциальной энергии:

\[
U(x) = - \int (ax - bx^2) \, dx
\]

Теперь проинтегрируем данное выражение. Чтобы вывести решение, разобьем интеграл на два члена:

\[
U(x) = - \int ax \, dx + \int bx^2 \, dx
\]

Интегрируем каждый из членов:

\[
U(x) = - \frac{a}{2}x^2 + \frac{b}{3}x^3 + C
\]

Где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы найти точку \(x_0\), приравняем потенциальную энергию в точке \(x_0\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[
0 = - \frac{a}{2} x_0^2 + \frac{b}{3} x_0^3 + C
\]

Мы знаем, что при \(x = 0\), потенциальная энергия также равна нулю. То есть, \(U(0) = 0\):

\[
0 = - \frac{a}{2} \cdot 0^2 + \frac{b}{3} \cdot 0^3 + C
\]

Отсюда можно заключить, что \(C = 0\). Таким образом, уравнение для нахождения \(x_0\) принимает следующий вид:

\[
0 = - \frac{a}{2} x_0^2 + \frac{b}{3} x_0^3
\]

Факторизуем это уравнение:

\[
x_0^2 \left(\frac{b}{3} x_0 - \frac{a}{2} \right) = 0
\]

Из этого уравнения можно сделать два вывода:

1) \(x_0^2 = 0\). Значит, координата \(x_0\) равна 0.

2) \(\frac{b}{3} x_0 - \frac{a}{2} = 0\). Данное уравнение позволяет найти дополнительную точку, если сила \(F(x)\) принимает другие значений. Решив это уравнение относительно \(x_0\), получим:

\[
\frac{b}{3} x_0 = \frac{a}{2}
\]

\[
x_0 = \frac{3a}{2b}
\]

Таким образом, мы получили два значения для \(x_0\): \(x_0 = 0\) и \(x_0 = \frac{3a}{2b}\).