Какова координата x0 точки, где потенциальная энергия частицы равна потенциальной энергии в точке x=0 м, при движении

Svetlyy_Mir

48

Для решения этой задачи, нам нужно установить координату $x_0$ точки, где потенциальная энергия частицы равна потенциальной энергии в точке $x=0\text{м}$.

Потенциальная энергия частицы может быть найдена как интеграл от силы $F$ по координате $x$:

$$U(x)=-\int F(x)dx$$

Дано, что сила $F$ определяется следующим образом:

$$F(x)=ax-b{x}^2$$

Подставим эту силу в формулу для потенциальной энергии:

$$U(x)=-\int (ax-b{x}^2)dx$$

Теперь проинтегрируем данное выражение. Чтобы вывести решение, разобьем интеграл на два члена:

$$U(x)=-\int axdx+\int b{x}^{2}dx$$

Интегрируем каждый из членов:

$$U(x)=-\frac{a}{2}{x}^2+\frac{b}{3}{x}^3+C$$

Где $C$ - постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы найти точку $x_0$, приравняем потенциальную энергию в точке $x_0$ к нулю и решим полученное уравнение:

$$0=-\frac{a}{2}{x}_0^2+\frac{b}{3}{x}_0^3+C$$

Мы знаем, что при $x=0$, потенциальная энергия также равна нулю. То есть, $U(0)=0$:

$$0=-\frac{a}{2}\cdot 0^2+\frac{b}{3}\cdot 0^3+C$$

Отсюда можно заключить, что $C=0$. Таким образом, уравнение для нахождения $x_0$ принимает следующий вид:

$$0=-\frac{a}{2}{x}_0^2+\frac{b}{3}{x}_0^3$$

Факторизуем это уравнение:

$$x_0^2(\frac{b}{3}{x}_0-\frac{a}{2})=0$$

Из этого уравнения можно сделать два вывода:

1) $x_0^2=0$. Значит, координата $x_0$ равна 0.

2) $\frac{b}{3}{x}_0-\frac{a}{2}=0$. Данное уравнение позволяет найти дополнительную точку, если сила $F(x)$ принимает другие значений. Решив это уравнение относительно $x_0$, получим:

$$\frac{b}{3}{x}_0=\frac{a}{2}$$

$$x_0=\frac{3a}{2b}$$

Таким образом, мы получили два значения для $x_0$: $x_0=0$ и $x_0=\frac{3a}{2b}$.