Какова максимальная выручка, если у монополиста известно, что цена равна 8, функция спроса линейна, цена составляет

Морской_Путник

23

Для решения этой задачи о максимальной выручке монополиста, мы должны использовать формулу для вычисления выручки. Выручка рассчитывается как произведение цены на количество товара, т.е. \( \text{Выручка} = \text{Цена} \times \text{Количество} \).

Дано:
Цена \( P = 8 \),
Количество \( Q = 120 \),
Цена составляет \( P_c = 4 \).

Функция спроса линейна, значит, спрос \( Q = a - bP \).

Мы знаем, что при цене \( P = 4 \), количество \( Q = 120 \), поэтому можем составить уравнение:
\[ Q = a - bP \]
\[ 120 = a - 4b \]
\[ a = 120 + 4b \]

Также у нас есть формула для вычисления выручки:
\[ \text{Выручка} = P \times Q \]

Вместо \(Q\) подставим \(a - bP\):
\[ \text{Выручка} = P \times (a - bP) \]
\[ \text{Выручка} = aP - bP^2 \]

Подставим известные значения переменных:
\[ \text{Выручка} = (120 + 4b)P - bP^2 \]
\[ \text{Выручка} = 120P + 4bP - bP^2 \]

Теперь найдем оптимальную цену для максимизации выручки. Это можно сделать, продифференцировав полученное выражение по цене, приравняв к нулю и найдя оптимальную цену:
\[ \frac{d(\text{Выручка})}{dP} = 120 - 2bP \]
\[ 0 = 120 - 2bP \]
\[ 2bP = 120 \]
\[ P = 60/b \]

Теперь найдем соответствующее количество:
\[ Q = 120 + 4b \times (60/b) \]
\[ Q = 120 + 240 \]
\[ Q = 360 \]

Таким образом, оптимальная цена для максимизации выручки равна \( P = \frac{60}{b} \), а соответствующее количество равно \( Q = 360 \).

Чтобы найти максимальную выручку, подставим найденные значения цены и количества в формулу выручки:
\[ \text{Выручка} = 120 \times \frac{60}{b} + 4b \times 60 - b \times \left(\frac{60}{b}\right)^2 \]
\[ \text{Выручка} = 7200/b + 240b - 360 \]

Таким образом, максимальная выручка монополиста будет равна \( 7200/b + 240b - 360 \).