Какова масса двойной звезды в массах Солнца, если период обращения ее компонентов составляет 56 лет, а большая полуось

Musya

48

Для решения этой задачи мы можем использовать закон тяготения, который гласит, что сила гравитации между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы можем использовать следующую формулу:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{{G \cdot (m_1 + m_2)}}}\]

где
\(T\) - период обращения звезды,
\(\pi\) - число пи (приближенное значение 3.14159),
\(a\) - большая полуось орбиты,
\(G\) - гравитационная постоянная (приближенное значение 6.67430 * \(10^{-11}\)),
\(m_1\) и \(m_2\) - массы компонентов звезды.

Дано, что период обращения равен 56 лет (примечание: период обращения двойной системы равен периоду обращения их общего центра масс), а большая полуось орбиты равна 3 угловым секундам ("), что составляет \(3/3600\) градуса. Для простоты воспользуемся радианами и переведем угловую меру:

\((3/3600) \cdot \frac{\pi}{180}\)

Подставим известные значения в формулу и решим ее:

\[56 = 2\pi\sqrt{\frac{(3/3600) \cdot \frac{\pi}{180}}{G \cdot (m_1 + m_2)}}\]

Для удобства расчетов, возьмем пи (π) примерно равным 3.14 и гравитационную постоянную \(G\) примерно равной \(6.67 \cdot 10^{-11}\).

\[56 = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{(3/3600) \cdot 3.14 / 180}{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot (m_1 + m_2)}}\]

Упростим выражение:

\[56 = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{(3/3600) \cdot 3.14}{180 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot (m_1 + m_2)}}\]

\[56 = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 3.14}{3600 \cdot 180 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot (m_1 + m_2)}}\]

Сократим числитель и знаменатель:

\[56 = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{9.42}{12.06 \cdot 10^{-7} \cdot (m_1 + m_2)}}\]

Далее, избавимся от корня, возведя все в квадрат:

\[56^2 = (2 \cdot 3.14)^2 \cdot \frac{9.42}{1.450632 \cdot 10^{-6} \cdot (m_1 + m_2)}\]

Упростим выражение:

\[3136 = 39.22 \cdot \frac{9.42}{1.450632 \cdot 10^{-6} \cdot (m_1 + m_2)}\]

Далее, разделим обе части уравнения на 39.22:

\[\frac{3136}{39.22} = \frac{9.42}{1.450632 \cdot 10^{-6} \cdot (m_1 + m_2)}\]

Упростим:

\[79.85 = \frac{9.42}{1.450632 \cdot 10^{-6} \cdot (m_1 + m_2)}\]

Избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на деноминатор:

\[79.85 \cdot (m_1 + m_2) = \frac{9.42}{1.450632 \cdot 10^{-6}}\]

Упростим:

\[79.85 \cdot (m_1 + m_2) = 6496850.79\]

Раскроем скобки:

\[79.85m_1 + 79.85m_2 = 6496850.79\]

Теперь мы можем окончательно решить это уравнение, подставив значение периода обращения.

Итак, масса двойной звезды равна \(\frac{6496850.79}{79.85}\) масс Солнца.

Рассчитаем:

\(\frac{6496850.79}{79.85}\) ≈ 81353.66 масс Солнца

Поэтому масса двойной звезды составляет приблизительно 81353.7 масс Солнца (округление до десятых).