Какова масса груза, если жесткость пружины составляет 50 H/м и колебания груза на пружине описываются уравнением

Якобин

24

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать закон Гука и уравнение гармонических колебаний.

Закон Гука гласит, что сила, действующая на пружину, пропорциональна её деформации. Имея коэффициент пропорциональности (жесткость пружины), мы можем использовать этот закон, чтобы найти силу, действующую на пружину, когда груз находится в позиции \(x\).

Формула для закона Гука: \(F = k \cdot x\), где \(F\) - сила, \(k\) - жесткость пружины, \(x\) - деформация пружины.

В данной задаче нам дано уравнение для описания колебаний груза на пружине:

\[x = 0.03 \cdot \cos(3.2 \cdot \pi \cdot t)\]

Здесь \(x\) - деформация пружины в зависимости от времени \(t\).

Мы можем заметить, что амплитуда колебаний равна 0.03, что означает максимальную деформацию пружины.

Так как у нас дано уравнение колебаний в виде \(x = A \cdot \cos(\omega \cdot t)\), где \(A\) - амплитуда, а \(\omega\) - угловая частота, мы можем свести его к виду \(x = A \cdot \cos(2\pi \cdot f \cdot t)\), где \(f\) - частота.

Сравнивая уравнения, мы видим, что \(3.2 \cdot \pi = 2\pi \cdot f\). Решим это уравнение относительно \(f\):

\[3.2 \cdot \pi = 2\pi \cdot f\]
\[f = \frac{{3.2 \cdot \pi}}{{2\pi}}\]
\[f = 1.6\]

Таким образом, частота колебаний груза на пружине равна 1.6 Гц.

Используя уравнение для закона Гука, мы можем заметить, что максимальная деформация пружины равна амплитуде колебаний \(A\), поэтому:

\[0.03 = k \cdot 0.03\]
\[k = 1\]

Теперь у нас есть значение жесткости пружины \(k = 1\) H/m и частота колебаний \(f = 1.6\) Гц.

Масса груза, связанная с этой системой, может быть найдена с использованием формулы для частоты и жесткости пружины:

\[f = \frac{1}{{2\pi}} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}\]

Решим это уравнение относительно \(m\):

\[1.6 = \frac{1}{{2\pi}} \cdot \sqrt{\frac{1}{m}}\]
\[1.6 \cdot 2\pi = \sqrt{\frac{1}{m}}\]
\[(1.6 \cdot 2\pi)^2 = \frac{1}{m}\]
\[m = \frac{1}{{(1.6 \cdot 2\pi)^2}}\]
\[m \approx 0.012 \quad \text{кг}\]

Таким образом, масса груза составляет около 0.012 кг.