Какова масса планеты (в единицах массы Земли), если искусственный спутник движется по орбите с периодом 3 часа вокруг

Busya_2750

62

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать третий закон Кеплера, который говорит, что квадрат периода движения спутника пропорционален кубу большой полуоси орбиты планеты. Давайте обозначим массу Земли как \(M_{\text{Земли}}\) и радиус Земли как \(R_{\text{Земли}}\). Также пусть масса планеты будет обозначена как \(M_{\text{планеты}}\) и радиус планеты как \(R_{\text{планеты}}\).

Мы знаем, что период движения спутника вокруг планеты составляет 3 часа. Это можно записать в виде \(T_{\text{спутника}} = 3\) ч.

Также дано, что радиус планеты втрое больше земного радиуса. Мы можем записать это в виде \(R_{\text{планеты}} = 3 \cdot R_{\text{Земли}}\).

Мы хотим найти массу планеты в единицах массы Земли, поэтому обозначим массу планеты в таких единицах как \(m_{\text{планеты}}\) (это значение мы и хотим найти).

Итак, применяя третий закон Кеплера, мы можем записать следующее соотношение:

\[\left(\frac{T_{\text{планеты}}}{T_{\text{Земли}}}\right)^2 = \left(\frac{R_{\text{планеты}}}{R_{\text{Земли}}}\right)^3\]

Теперь подставим в это соотношение известные значения:

\[\left(\frac{3}{1}\right)^2 = \left(\frac{3 \cdot R_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}}\right)^3\]

\[9 = 27\]

Это равенство не выполняется, так что наше предположение о расположении радиуса планеты неверно. У нас есть два варианта ответа: 4,25 и 6,75. Давайте рассмотрим их поочередно.

Предположим, что масса планеты равна 4.25 массе Земли. В таком случае, радиус планеты будет равен:

\[R_{\text{планеты}} = 3 \cdot R_{\text{Земли}} = 3 \cdot 1 = 3\]

Подставим значения в третий закон Кеплера:

\[\left(\frac{T_{\text{планеты}}}{T_{\text{Земли}}}\right)^2 = \left(\frac{R_{\text{планеты}}}{R_{\text{Земли}}}\right)^3\]

\[\left(\frac{3}{1}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^3\]

\[9 \neq 27\]

Таким образом, предположение о массе планеты равной 4,25 массе Земли неверно.

Теперь рассмотрим второй вариант ответа, где масса планеты равна 6,75 массе Земли. В таком случае, радиус планеты будет равен:

\[R_{\text{планеты}} = 3 \cdot R_{\text{Земли}} = 3 \cdot 1 = 3\]

Подставим значения в третий закон Кеплера:

\[\left(\frac{T_{\text{планеты}}}{T_{\text{Земли}}}\right)^2 = \left(\frac{R_{\text{планеты}}}{R_{\text{Земли}}}\right)^3\]

\[\left(\frac{3}{1}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^3\]

\[9 = 27\]

Это снова не выполняется. Мы не можем найти массу планеты с заданными условиями.

Таким образом, ответ на задачу не совпадает с предложенными вариантами. Возможно, варианты ответов были указаны с ошибкой или у нас недостаточно информации для нахождения массы планеты.