Какова масса платформы, если горизонтальная платформа с однородным диском радиусом 15 м вращается без трения вокруг

Солнечная_Звезда_7155

28

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Момент импульса системы, состоящей из платформы и человека, должен оставаться постоянным до и после перемещения человека.

Давайте обозначим массу платформы как \(m_1\), массу человека как \(m_2\) и радиус платформы как \(r\).

Известно, что масса человека равна 60 кг и он находится на расстоянии 14 м от центра платформы. Таким образом, момент импульса до перемещения человека будет равен \(m_2 \cdot r_1 \cdot v_1\), где \(v_1\) - скорость вращения платформы перед перемещением.

После перемещения человека на расстояние 6,17 м от центра платформы, частота вращения платформы изменится в 1,6 раза. Обозначим новую скорость вращения платформы \(v_2\) и новую частоту вращения \(\omega_2\).

Момент импульса после перемещения человека будет равен \(m_2 \cdot r_2 \cdot v_2\), где \(r_2\) - новое расстояние от центра платформы до человека после перемещения.

Таким образом, у нас есть два уравнения, связывающих моменты импульса до и после перемещения:

\[m_2 \cdot r_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot r_2 \cdot v_2\]

и

\[\omega_2 = 1,6 \cdot \omega_1\]

Мы также знаем, что скорость вращения связана с частотой вращения и радиусом платформы следующим образом:

\[v = r \cdot \omega\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[m_2 \cdot r_1 \cdot r_1 \cdot \omega_1 = m_2 \cdot r_2 \cdot r_2 \cdot \omega_2\]

Теперь мы можем избавиться от \(m_2\) и выразить \(r_2\) через \(r_1\) и \(\omega_1\):

\[r_2 = \frac{{r_1 \cdot \omega_1}}{{\sqrt{{1,6}}}}\]

Мы используем \(\sqrt{{1,6}}\) поскольку скорость увеличилась в 1,6 раза (по условию задачи) и скорость связана с частотой и радиусом платформы.

Теперь, чтобы выразить массу платформы \(m_1\), мы можем воспользоваться вторым уравнением:

\(m_1 \cdot r_1 \cdot r_1 \cdot \omega_1 = m_2 \cdot r_2 \cdot r_2 \cdot \omega_2\)

Подставляя выражение для \(r_2\):

\(m_1 \cdot r_1 \cdot r_1 \cdot \omega_1 = m_2 \cdot \left(\frac{{r_1 \cdot \omega_1}}{{\sqrt{{1,6}}}}\right)^2 \cdot \omega_2\)

Мы можем упростить это уравнение, подставив значения \(m_2 = 60\) кг, \(r_1 = 14\) м, \(v_1 = r_1 \cdot \omega_1\), \(r_2 = \frac{{r_1 \cdot \omega_1}}{{\sqrt{{1,6}}}}\) и \(\omega_2 = 1,6 \cdot \omega_1\):

\(m_1 \cdot v_1 = 60 \cdot \left(\frac{{r_1 \cdot \omega_1}}{{\sqrt{{1,6}}}}\right)^2 \cdot (1,6 \cdot \omega_1)\)

Выражая массу платформы \(m_1\):

\(m_1 = \frac{{60 \cdot r_1^2 \cdot \omega_1^3 \cdot 1,6}}{{v_1 \cdot \sqrt{{1,6}}}}\)

Таким образом, масса платформы равна:

\[m_1 = \frac{{60 \cdot 14^2 \cdot \omega_1^3 \cdot 1,6}}{{v_1 \cdot \sqrt{{1,6}}}}\]

Подставляя числовые значения \(\omega_1\) и \(v_1\), вы сможете вычислить итоговый результат.