Какова масса ракеты без заряда, если она поднимается на высоту 125 м при сгорании топлива массой 0,05

Stepan_6505

63

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться законом сохранения импульса. По закону сохранения импульса, изменение импульса системы равно сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе. В данном случае, мы можем рассматривать ракету как изолированную систему, так как здесь нет никаких внешних сил, кроме тяги ракеты.

Давайте обозначим массу ракеты без заряда как \(m_r\), массу ракеты с зарядом как \(m_r + m_f\) (где \(m_f\) - это масса топлива), и скорость изменения импульса ракеты как \(dp/dt\). Тогда закон сохранения импульса можно записать следующим образом:

\[(m_r + m_f) \frac{{dv}}{{dt}} = -m_f \cdot g\]

где \(v\) - это скорость ракеты, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Используя второй закон Ньютона \(F = ma\), где \(F\) - это сила, \(m\) - масса, а \(a\) - ускорение, мы можем заменить ускорение свободного падения на \(g\) и написать:

\[(m_r + m_f) \frac{{dv}}{{dt}} = -m_f \cdot g\]

Теперь мы можем решить данное дифференциальное уравнение методом разделения переменных. Для этого мы распишем его в следующем виде:

\[(m_r + m_f) \, dv = -m_f \cdot g \, dt\]

Затем мы проинтегрируем обе стороны уравнения от начальной точки (\(v = 0\) и \(t = 0\)) до произвольных значений \(v\) и \(t\):

\[\int_0^v (m_r + m_f) \, dv = \int_0^t -m_f \cdot g \, dt\]

Раскроем интегралы:

\[\int_0^v m_r \, dv + \int_0^v m_f \, dv = -\int_0^t m_f \cdot g \, dt\]

Упростим выражение:

\[m_r \int_0^v dv + m_f \int_0^v dv = - m_f \, g \int_0^t dt\]

\[m_r v \Bigg|_0^v + m_f v \Bigg|_0^v = - m_f \, g t \Bigg|_0^t\]

Теперь вычислим результаты каждой интеграции:

\[m_r \cdot v - m_r \cdot 0 + m_f \cdot v - m_f \cdot 0 = - m_f \cdot g \cdot t + m_f \cdot g \cdot 0\]

Упростим выражение:

\[m_r \cdot v + m_f \cdot v = - m_f \cdot g \cdot t\]

\[v \cdot (m_r + m_f) = - m_f \cdot g \cdot t\]

Вспомним, что \(v\) - это скорость ракеты, и при вертикальном движении \(v = \frac{{dh}}{{dt}}\), где \(h\) - это высота ракеты. Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[\frac{{dh}}{{dt}} \cdot (m_r + m_f) = - m_f \cdot g \cdot t\]

Теперь мы можем проинтегрировать это уравнение, чтобы получить зависимость высоты ракеты от времени:

\[\int_0^h dh = - \int_0^t \frac{{m_f \cdot g \cdot t}}{{m_r + m_f}} dt\]

\[h \Bigg|_0^h = - \frac{{m_f \cdot g}}{{m_r + m_f}} \cdot \int_0^t t dt\]

Упростим выражение:

\[h - 0 = - \frac{{m_f \cdot g}}{{m_r + m_f}} \cdot \left( \frac{{1}}{{2}} \cdot t^2 \right)\]

\[h = - \frac{{m_f \cdot g}}{{2 \cdot (m_r + m_f)}} \cdot t^2\]

Теперь, чтобы найти массу ракеты без заряда, можно воспользоваться данным уравнением, подставив значения из условия задачи.

\[h = - \frac{{0.05 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2}}{{2 \cdot (m_r + 0.05 \, \text{кг})}} \cdot (1.25 \, \text{с}^2)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[h = - \frac{{0.049 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2}}{{2 \cdot m_r + 0.1 \, \text{кг}}} \cdot 1.5625 \, \text{с}^2\]

Дальше можно продолжить вычисления, но заметим, что у нас нет данных о значении \(h\). Поэтому нам недостаточно информации для точного решения задачи. Если у вас есть какие-то данные о высоте ракеты, пожалуйста, предоставьте их, и я буду рад помочь вам решить задачу полностью.