Какова мера угла B прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, если известно, что DA = 4 и AC = 8? Ответ

Евгеньевна

58

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему тригонометрии - теорему синусов.

Теорема синусов гласит, что для произвольного треугольника с сторонами a, b, c и противолежащими углами A, B, C мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

В нашем случае у нас есть треугольник ABC, где прямой угол находится в вершине C. Мы знаем, что сторона AC равна 8 единицам (AC = 8) и DA равна 4 единицам (DA = 4).

Мы хотим найти меру угла B, поэтому нам нужно использовать теорему синусов, чтобы связать стороны треугольника с соответствующими углами.

Давайте обозначим сторону BC как b (BC = b) и угол B как angleB.

Теперь мы можем записать соотношение, используя теорему синусов:

\[\frac{8}{\sin 90^\circ} = \frac{b}{\sin angleB}\]

Заметим, что \(\sin 90^\circ = 1\), поэтому у нас получается:

\[8 = b \times \sin angleB\]

Чтобы найти меру угла B, нам нужно найти значение \(\sin angleB\). Для этого нам понадобится использовать обратную функцию синуса (или arcsin).

Таким образом, можно написать следующее уравнение:

\[\sin angleB = \frac{8}{b}\]

Теперь нам нужно найти значение b, чтобы решить задачу. Заметим, что мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значения b.

В прямоугольном треугольнике ABC сторона BC является гипотенузой, а стороны AC и DA являются катетами.

Мы можем применить теорему Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

\[(AC)^2 + (DA)^2 = (BC)^2\]

В нашем случае это выглядит следующим образом:

\[(8)^2 + (4)^2 = (BC)^2\]

Решив это уравнение, мы найдем значение BC:

\[64 + 16 = (BC)^2\]

\[80 = (BC)^2\]

\[BC = \sqrt{80}\]

Теперь мы знаем значение BC, и можем продолжить решение задачи. Подставив это значение в уравнение для \(\sin angleB\), мы получим:

\[\sin angleB = \frac{8}{\sqrt{80}}\]

Теперь нам нужно найти значение угла B, используя обратную функцию синуса (arcsin):

\[angleB = \arcsin\left(\frac{8}{\sqrt{80}}\right)\]

Вычисляя это значение на калькуляторе, получаем:

\[angleB \approx 21.8^\circ\]

Таким образом, мера угла B прямоугольного треугольника ABC, где прямой угол находится в вершине C, составляет приблизительно 21.8 градусов.