Какова минимальная высота треугольника и радиусы вписанной и описанной окружностей, если стороны треугольника равны

Лёха

64

12 см?

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности \( r = \frac{{\text{{площадь треугольника}}}}{{\text{{полупериметр треугольника}}}} \), где полупериметр треугольника равен \( \frac{{\text{{сумма сторон треугольника}}}}{2} \), а радиус описанной окружности можно найти по формуле \( R = \frac{{abc}}{{4 \cdot \text{{площадь треугольника}}}} \).

В первую очередь, нам нужно найти площадь треугольника. Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника, где \( s \) - полупериметр треугольника, а \( a, b, c \) - стороны треугольника. Формула Герона выглядит следующим образом:

\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

Подставив значения сторон треугольника, получим:

\[ s = \frac{{9 + 10 + 12}}{2} = 15 \]

\[ S = \sqrt{15(15-9)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{1350} \]

Теперь, мы можем найти радиус вписанной окружности, подставив значения в формулу:

\[ r = \frac{{\sqrt{1350}}}{{15}} \]

Раскрывая корень, получим:

\[ r = \frac{{\sqrt{150 \cdot 9}}}{{15}} = \frac{{3\sqrt{150}}}{{15}} = \frac{{3 \cdot 5 \cdot \sqrt{6}}}{{15}} = \frac{{5\sqrt{6}}}{{5}} = \sqrt{6} \approx 2.45 \]

Далее, мы можем найти радиус описанной окружности, подставив значения в формулу:

\[ R = \frac{{9 \cdot 10 \cdot 12}}{{4 \cdot \sqrt{1350}}} \]

Раскрывая корень, получим:

\[ R = \frac{{9 \cdot 10 \cdot 12}}{{4 \cdot 5 \cdot \sqrt{6}}} = \frac{{9 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}}{{2 \cdot \sqrt{6}}} = \frac{{9 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}{{\sqrt{6}}} = \frac{{72}}{{\sqrt{6}}} \approx 29.79 \]

Таким образом, минимальная высота треугольника составляет около 2.45 сантиметров, радиус вписанной окружности примерно равен 2.45 сантиметра, а радиус описанной окружности составляет около 29.79 сантиметров.