Какова общая масса двойной звезды Процион, если спутник продолжает вращаться вокруг главной звезды каждые 39

Robert

9

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать законы Кеплера и формулу для определения массы звездной системы.

Закон Кеплера, который нам понадобится в этой задаче, гласит: "Квадрат периода обращения спутника вокруг главной звезды пропорционален кубу большой полуоси орбиты спутника". Это можно записать в виде формулы:

\[T^2 = k \cdot r^3\]

где T - период обращения спутника, r - большая полуось орбиты спутника, а k - постоянная, зависящая от системы метрических единиц, в которой измеряются величины.

Мы знаем, что период обращения спутника вокруг главной звезды равен 39 годам, а большая полуось орбиты равна 13 астрономическим единицам. Чтобы найти общую массу звездной системы, нам нужно найти к.

Для этого мы можем воспользоваться другим законом Кеплера, который гласит: "Отношение суммы масс двух тел к кубу большой полуоси их общей орбиты является постоянным". Это можно записать в виде формулы:

\[\frac{{(m_1 + m_2)}}{{r^3}} = k"\]

где m₁ и m₂ - массы двух тел (в данном случае главной звезды и спутника), r - большая полуось орбиты спутника, а k" - постоянная, зависящая от системы метрических единиц.

Для дальнейших вычислений нам необходимо найти значение k" . Так как мы знаем период обращения спутника и большую полуось его орбиты, мы можем подставить известные значения в формулу \(T^2 = k \cdot r^3\) и найти значение k. После этого мы можем использовать значение k, чтобы найти общую массу звездной системы.

Давайте подставим известные значения в \(T^2 = k \cdot r^3\):

\[39^2 = k \cdot 13^3\]

Раскроем скобки:

\[1521 = k \cdot 2197\]

Чтобы найти k, разделим обе стороны на 2197:

\[k = \frac{{1521}}{{2197}}\]

Теперь мы можем использовать это значение, чтобы найти общую массу звездной системы, используя формулу:

\[\frac{{(m_1 + m_2)}}{{r^3}} = k"\]

Подставим значение k и известные значения в формулу:

\[\frac{{(m_1 + m_2)}}{{13^3}} = \frac{{1521}}{{2197}}\]

Раскроем скобки:

\[\frac{{(m_1 + m_2)}}{{169}} = \frac{{1521}}{{2197}}\]

Чтобы найти сумму масс двух тел (главной звезды и спутника), умножим обе стороны на 169:

\[m_1 + m_2 = \frac{{1521}}{{2197}} \cdot 169\]

Вычислим эту величину:

\[m_1 + m_2 \approx 116.22\]

Таким образом, общая масса двойной звезды Процион составляет около 116.22 массы Солнца.