Какова общая масса двойной звезды с орбитальным периодом 100 лет и большой полуосью 40 а.е.?

Zagadochnyy_Pesok

43

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать законы Кеплера и закон всемирного притяжения Ньютона.

Закон Кеплера описывает движение объектов вокруг центрального тела:
1. Каждая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце.
2. Радиус-вектор, соединяющий планету и Солнце, описывает равные площади за равные промежутки времени.
3. Квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты.

Закон всемирного притяжения Ньютона гласит, что каждое тело, притягиваемое другим телом, испытывает силу, прямо пропорциональную произведению их масс и обратно пропорциональную квадрату расстояния между ними.

Используем эти законы и данные задачи для нахождения массы двойной звезды.

Шаг 1: Найдем массу отдельной звезды
Известно, что звезда обращается вокруг общего центра масс с еще одной звездой. Пусть масса первой звезды будет \(M\), а масса второй звезды \(m\).

Шаг 2: Определим расстояние между звездами
Из задачи известно, что большая полуось орбиты двойной звезды равна 40 астрономическим единицам (а.е.). Предположим, что это расстояние между центрами звезд.

Шаг 3: Найдем период обращения звезды
Из задачи известно, что период обращения звезды составляет 100 лет.

Шаг 4: Применим законы Кеплера
Согласно законам Кеплера, для связи между периодом обращения планеты, массой звезды и большой полуосью орбиты можно использовать формулу:

\[T^2 = \frac{{4\pi^2 a^3}}{{GM}}\]

где \(T\) - период обращения, \(a\) - большая полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная (примерное значение - \(6.67430 \times 10^{-11}\) м\(^3\)/(кг \cdot с\(^2\))), \(M\) - масса звезды.

Шаг 5: Решим уравнение для нахождения массы звезды
Подставим известные значения в уравнение и решим его для \(M\):

\[\left(\frac{100\, \text{лет}}{365.25\, \text{дней}}\right)^2 = \frac{{4\pi^2 (40\, \text{а.е.})^3}}{{(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)) M}}\]

Рассчитаем это уравнение и найдем массу звезды \(M\).

Пошаговое решение:
1. Переведем период обращения звезды из лет в дни:
\[100\, \text{лет} \times 365.25\, \text{дней/год} = 36525\, \text{дней}\]
2. Возводим полученное значение в квадрат:
\[36525\, \text{дней} \times 36525\, \text{дней} = 1333967625\, \text{дней}^2\]
3. Подставляем известные значения в уравнение:
\[1333967625\, \text{дней}^2 = \frac{{4\pi^2 (40\, \text{а.е.})^3}}{{(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)) M}}\]
4. Решаем уравнение относительно \(M\):
\[M = \frac{{4\pi^2 (40\, \text{а.е.})^3}}{{1333967625\, \text{дней}^2 \times (6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2))}}\]
5. Подставляем числовые значения и рассчитываем массу:

Значение гравитационной постоянной \(G\) в системе СИ: \(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)

\[\begin{align*}
M &= \frac{{4\pi^2 (40\, \text{а.е.})^3}}{{1333967625\, \text{дней}^2 \times (6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2))}} \\
M &\approx 5.967 \times 10^{29}\, \text{кг}
\end{align*}\]

Таким образом, общая масса двойной звезды составляет примерно \(5.967 \times 10^{29}\, \text{кг}\).