Какова площадь боковой поверхности и объем прямой призмы с основанием в виде правильного треугольника со стороной

Veronika

4

Для решения данной задачи, нам необходимо знать формулы для расчета площади боковой поверхности и объема прямой призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы можно найти, умножив периметр основания на высоту каждой боковой грани.

Формула для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы следующая:

\[S_{бок} = P_{осн} \cdot h\]

где \(S_{бок}\) - площадь боковой поверхности,
\(P_{осн}\) - периметр основания и
\(h\) - высота боковой грани.

Для нашей призмы основание представляет собой правильный треугольник, у которого все стороны равны 6 см. Чтобы найти периметр основания, нужно просуммировать все стороны треугольника.

Поскольку у нас есть равносторонний треугольник, то все его стороны имеют одинаковую длину 6 см. Таким образом, периметр основания будет равен:

\[P_{осн} = 3 \cdot a\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

Теперь нам нужно найти высоту боковой грани прямой призмы. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора, так как это прямая призма.

Высота боковой грани будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника, основание которого равно стороне треугольника (6 см), а катетом будет служить боковое ребро призмы, длина которого нам неизвестна.

Теорема Пифагора гласит:

\[a^2 = c^2 - b^2\]

где \(a\) - гипотенуза, \(b\) и \(c\) - катеты.

Применяя теорему Пифагора, можем найти высоту боковой грани призмы. Так как одну сторону треугольника мы уже знаем, то \(c\) будет равно 6 см, а \(a\) будет равно длине бокового ребра призмы.

После нахождения \(a\) (длины бокового ребра), мы можем найти высоту \(h\) прямой призмы и использовать найденные значения для расчета площади боковой поверхности:

\[S_{бок} = P_{осн} \cdot h\]

Давайте продолжим расчеты:

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27}\]

Таким образом, \(a = \sqrt{27}\) см.

А теперь найдем высоту \(h\) призмы. Так как \(a\) является гипотенузой прямоугольного треугольника, а \(c\) - катетом, то \(h\) будет равно \(c\):

\[h = c = 6\]

Теперь, когда у нас есть значения \(P_{осн} = 3 \cdot a\) и \(h = c\), мы можем рассчитать площадь боковой поверхности \(S_{бок}\):

\[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (3 \cdot \sqrt{27}) \cdot 6\]

Выполняя вычисления:

\[S_{бок} = 3 \cdot \sqrt{27} \cdot 6 ≈ 3 \cdot 5,2 \cdot 6 ≈ 93,8 \, \text{кв. см}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы составляет примерно 93,8 квадратных сантиметра.

Перейдем к расчету объема прямой призмы. Объем прямой призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту.

Формула для нахождения объема прямой призмы:

\[V = S_{осн} \cdot h\]

где \(V\) - объем призмы,
\(S_{осн}\) - площадь основания и
\(h\) - высота призмы.

У нас основание представляет собой правильный треугольник, у которого сторона равна 6 см. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

\[S_{осн} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

При подставлении значения \(a = 6\) в формулу, мы можем найти площадь основания \(S_{осн}\):

\[S_{осн} = \frac{{6^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{36 \sqrt{3}}}{4} = 9 \sqrt{3} \, \text{кв. см}\]

Теперь у нас есть значения \(S_{осн} = 9 \sqrt{3} \, \text{кв. см}\) и \(h = 6 \, \text{см}\), и мы можем рассчитать объем \(V\) прямой призмы:

\[V = S_{осн} \cdot h = 9 \sqrt{3} \cdot 6\]

Выполняя вычисления:

\[V = 9 \sqrt{3} \cdot 6 ≈ 9 \cdot 1,7 \cdot 6 ≈ 91,7 \, \text{куб. см}\]

Таким образом, объем прямой призмы составляет примерно 91,7 кубических сантиметров.

В заключение, площадь боковой поверхности прямой призмы с основанием в виде правильного треугольника со стороной 6 см и боковым ребром длиной \(a = \sqrt{27}\) см составляет примерно 93,8 квадратных сантиметра, а объем призмы равен примерно 91,7 кубических сантиметров.