Какова площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее высота равна 3 и двугранный угол

Радужный_День

67

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать формулу для вычисления площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды. Формула для площади боковой поверхности пирамиды составляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l \), где \( p \) - периметр основания, а \( l \) - апофема (расстояние от вершины до середины ребра основания).

Сначала вычислим периметр основания. Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, то ее основание - равносторонний треугольник. Известно, что у треугольника все стороны равны, и мы можем найти периметр следующим образом: \( p = 3 \times \text{сторона} \).

Для вычисления стороны треугольника, воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов позволяет нам найти длину стороны треугольника по двум его сторонам и углу между ними.

Итак, поскольку у нас имеется треугольник, в котором один из углов равен 45 градусам, а гипотенуза (сторона, противоположная 45-градусному углу) равна высоте пирамиды, мы можем применить теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \), где \( a \) - независимая сторона, \( b \) и \( c \) - известные стороны, \( A \) - смежный угол.

В нашем случае \( c \) - это высота пирамиды, которая равна 3, а \( A \) - это двугранный угол при основании, который равен 45 градусам. Заметим, что \( b \) является стороной равностороннего треугольника, и значение \( b \) нам пока не известно.

Подставим известные значения в формулу для теоремы косинусов и решим ее относительно стороны \( b \):

\[
b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos A}
\]

Теперь у нас есть значение стороны \( b \), а следовательно, можем найти периметр основания:

\[
p = 3 \times b
\]

Далее нам понадобится значение апофемы \( l \). Для правильной треугольной пирамиды значение апофемы можно вычислить по формуле: \( l = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{сторона} \).

Таким образом, у нас есть все необходимые значения для вычисления площади боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \):

\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times p \times l
\]

Подставим значения в формулу и выполним вычисления.