Какова площадь многоугольника, образованного линиями, соединяющими последовательно точки (0,2), (2,0), (1,2), (3,3

Inna

65

Чтобы найти площадь многоугольника, образованного этими точками, мы можем использовать метод разбиения многоугольника на более простые фигуры и нахождения их площадей. В данном случае, мы можем разбить многоугольник на два треугольника и параллелограмм.

Давайте начнем с нахождения площади первого треугольника. Мы можем использовать формулу площади треугольника, которая равна половине произведения его основания и высоты. В данном случае, для первого треугольника, основание будет линия, соединяющая точки (0,2) и (2,0), а высота будет расстояние между этой линией и точкой (1,2).

Площадь первого треугольника можно вычислить следующим образом:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{{основание}}_1 \cdot \text{{высота}}_1\]

Для нашего первого треугольника:

\[\text{{основание}}_1 = \sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

\[\text{{высота}}_1 = 1 - 2 = -1\]

Теперь мы можем вычислить площадь первого треугольника:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}\]

Так как площадь не может быть отрицательной, мы можем взять абсолютную величину этого значения, чтобы получить положительный результат: \(|S_1| = \sqrt{2}\).

Теперь перейдем ко второму треугольнику. Основание для него будет линия, соединяющая точки (1,4) и (3,3), а высота - расстояние между этой линией и точкой (2,3).

Площадь второго треугольника можно вычислить аналогичным образом:

\[\text{{основание}}_2 = \sqrt{(3-1)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}\]

\[\text{{высота}}_2 = 2 - 3 = -1\]

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{5}}{2}\]

Опять же, мы возьмем абсолютное значение, чтобы получить положительный результат: \(|S_2| = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

Наконец, площадь параллелограмма может быть найдена как разность площадей двух треугольников:

\[S_{\text{пар.}} = |S_1| - |S_2| = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, площадь многоугольника равна \(\sqrt{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\) квадратных единиц.