Какова площадь окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника с основанием длиной 6 см и углом при вершине

Мурзик

24

Чтобы найти площадь окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, нам понадобятся некоторые знания из геометрии. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Найдём высоту треугольника.
У нас есть равнобедренный треугольник со стороной основания длиной 6 см и углом при вершине равным 45 градусов. Поскольку треугольник равнобедренный, то это означает, что две боковые стороны также имеют одинаковую длину. Обозначим боковую сторону треугольника как a.

Так как у нас равнобедренный треугольник, мы можем использовать определенные свойства, чтобы найти высоту треугольника. Мы знаем, что угол при вершине равен 45 градусам. Этот угол делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника, и мы можем использовать это знание, чтобы найти высоту.

Вспомним, что в прямоугольном треугольнике прилежащий к углу прямой стороне равен гипотенузе, поделив на \(\sqrt{2}\). В нашем случае, высота равна стороне \(a\) разделенной на \(\sqrt{2}\):

\[h = \frac{a}{\sqrt{2}}\]

Используя теорему Пифагора, мы можем выразить сторону \(a\) через длину основания \(b\) и высоту \(h\):

\[a^2 = b^2 + h^2\]

Подставим значение высоты, которое мы нашли ранее:

\[\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = b^2 + h^2\]

Раскроем скобки:

\[\frac{a^2}{2} = b^2 + \frac{a^2}{2}\]

Сократим общие слагаемые:

\[b^2 = \frac{a^2}{2}\]

Далее, зная, что \(b = 6\) (длина основания), мы можем решить уравнение относительно \(a\):

\[6^2 = \frac{a^2}{2}\]

Решим уравнение:

\[36 = \frac{a^2}{2}\]

Умножим обе стороны на 2:

\[72 = a^2\]

Извлекаем квадратный корень от обеих сторон:

\[a = \sqrt{72}\]

\[a = 6\sqrt{2}\]

Таким образом, сторона \(a\) равна \(6\sqrt{2}\) см.

Шаг 2: Найдем радиус окружности.
Поскольку окружность описана вокруг равнобедренного треугольника, радиус окружности будет равен половине длины стороны \(a\). Таким образом, радиус \(r\) будет равен \(r = \frac{a}{2}\):

\[r = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\] см.

Шаг 3: Найдём площадь окружности.
Формула для площади окружности:

\[S = \pi r^2\]

Подставим значение радиуса, которое мы нашли ранее:

\[S = \pi (3\sqrt{2})^2\]

Упростим:

\[S = \pi \cdot 18\]

Окончательный ответ:

Площадь окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника с основанием длиной 6 см и углом при вершине равным 45 градусов, равна \(18\pi\) квадратных сантиметров.