Какова площадь полной поверхности конуса, если осевое сечение представляет собой треугольник со стороной в 8 см и углом

Лёха

54

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для площади полной поверхности конуса. Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. Формула для площади полной поверхности конуса выглядит следующим образом:

\[S_{полн. пов.} = S_{осн.} + S_{бок.}\]

Где \(S_{полн. пов.}\) - площадь полной поверхности конуса, \(S_{осн.}\) - площадь основания конуса, \(S_{бок.}\) - площадь боковой поверхности конуса.

Для начала найдем площадь основания конуса. В нашем случае осевое сечение представляет собой треугольник. Для вычисления площади треугольника по формуле можно использовать длину одной из сторон и синус угла между этой стороной и прилежащей к ней стороной. В нашем случае есть сторона треугольника, равная 8 см, и угол прилежащий, равный 120°.

\[S_{осн.} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(\alpha)\]

Где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, \(\alpha\) - угол между сторонами.

Подставим наши значения в формулу:

\[S_{осн.} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot sin(120°)\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса. Формула для площади боковой поверхности конуса:

\[S_{бок.} = \pi \cdot r \cdot l\]

Где \(S_{бок.}\) - площадь боковой поверхности конуса, \(r\) - радиус основания, \(l\) - образующая конуса.

Мы знаем длину стороны треугольника, которая равна радиусу основания конуса. Для нахождения образующей конуса нам понадобится теорема Пифагора:

\[l = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Подставим наши значения в формулу:

\[l = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}\]

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

\[S_{бок.} = \pi \cdot 8 \cdot \sqrt{80}\]

Теперь объединим площади основания и боковой поверхности, чтобы найти площадь полной поверхности конуса:

\[S_{полн. пов.} = S_{осн.} + S_{бок.}\]

\[S_{полн. пов.} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot sin(120°) + \pi \cdot 8 \cdot \sqrt{80}\]

Теперь можем вычислить значение площади полной поверхности конуса, используя калькулятор или приближенные значения для \(\pi\):

\[S_{полн. пов.} \approx 26.155 + 64.939 \pi\]