Какова площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, в которую вписан квадрат со стороной

Yaksob

22

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Чтобы найти площадь вписанного в него правильного треугольника, вначале найдем радиус окружности.

Найдем диагональ квадрата, она будет равна \(d = a\sqrt{2}\). Радиус окружности, вписанной в данный квадрат, равен половине диагонали, то есть \(r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Теперь рассмотрим правильный треугольник, вписанный в эту окружность. Он состоит из трех равных сторон, и каждая сторона принимает форму радиуса окружности. Таким образом, длина стороны треугольника равна \(s = r = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Теперь можем найти площадь правильного треугольника, используя формулу для площади равностороннего треугольника: \(A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times s^2\). Подставляем значение стороны (\(s\)) и решаем уравнение:

\[A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2\]
\[A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{a^2 \cdot 2}{4}\]
\[A = \frac{\sqrt{3} \cdot a^2}{8}\]

Таким образом, площадь данного вписанного правильного треугольника равна \(\frac{\sqrt{3} \cdot a^2}{8}\).