Какова площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 60, а один из острых углов равен 45°? Приведите

Egor

35

Хорошо, давайте разберем эту задачу шаг за шагом. Для начала нарисуем прямоугольный треугольник с данными значениями:

        /|

       / |

   60 /  |

     /   |

    /____|

      45°

На рисунке гипотенуза обозначена длиной 60 единиц, а угол напротив гипотенузы равен 45°.

Чтобы найти площадь треугольника, нам понадобится знать длины его сторон. Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом:

- Пусть стороны треугольника, прилегающие к прямому углу, будут основаниями треугольника. Пусть одно основание будет длиной a, а другое - b.
- Гипотенуза треугольника (сторона напротив прямого угла) имеет длину 60.

Мы знаем, что треугольник - прямоугольный, поэтому можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длины оснований.

Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, гипотенуза c равна 60, и один из углов равен 45°. Мы можем использовать это знание, чтобы выразить длины оснований через гипотенузу.

По определению, синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\[\sin(45°) = \frac{a}{60}\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти длину одного из оснований:

\[a = \sin(45°) \cdot 60\]

\[a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 60\]

\[a = 30\sqrt{2}\]

Таким образом, одно из оснований треугольника равно \(30\sqrt{2}\).

Аналогично, мы можем использовать косинус угла для выражения длины второго основания:

\[\cos(45°) = \frac{b}{60}\]

\[b = \cos(45°) \cdot 60\]

\[b = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 60\]

\[b = 30\sqrt{2}\]

Таким образом, и второе основание треугольника равно \(30\sqrt{2}\).

Теперь, когда у нас есть длины обоих оснований, мы можем найти площадь прямоугольного треугольника, используя формулу:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{2} \cdot 30\sqrt{2}\]

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 \cdot 2\]

\[Площадь = 900\]

Итак, площадь этого прямоугольного треугольника равна 900.