Какова площадь сечения единичного куба, образованного плоскостью, проходящей через середины ребер bb1, cc1 и ab? Какова

Zolotoy_Korol

66

Для решения этой задачи, нам нужно рассмотреть конструкцию единичного куба и найти площадь сечений, образованных указанными плоскостями.

1. Сечение, образованное плоскостью, проходящей через середины ребер bb1, cc1 и ab:

Для начала, давайте представим себе единичный куб и обозначим его стороны и вершины. Плоскость, проходящая через середины ребер bb1, cc1 и ab, будет проходить через главную диагональ единичного куба. Пусть м будет серединной точкой bb1, n - серединной точкой cc1, а k - серединной точкой ab.

\[кординаты м: (0.5, 0, 0.5)\]
\[кординаты n: (0.5, 0.5, 0)\]
\[кординаты k: (0, 0.5, 0.5)\]

Пусть плоскость, проходящая через эти точки, имеет уравнение \(Ax + By + Cz + D = 0\). Чтобы определить эту плоскость, мы можем использовать метод нахождения нормали.

Нормаль плоскости - это вектор, перпендикулярный плоскости. Этот вектор можно найти, построив векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Вспомним, что векторное произведение двух векторов \(\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{w}\) равно:

\[\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = |\overrightarrow{v}| \cdot |\overrightarrow{w}| \cdot \sin(\theta) \cdot \overrightarrow{n}\]

где \(\theta\) - угол между \(\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{w}\), а \(\overrightarrow{n}\) - нормаль плоскости.

В этом случае, мы можем взять векторы \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\), которые образуют плоскость, а именно \(\overrightarrow{mu}\) и \(\overrightarrow{nk}\). Затем, находим их векторное произведение:

\[\overrightarrow{mu} \times \overrightarrow{nk}\]

\[\overrightarrow{mu} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{m}\]

\[\overrightarrow{nk} = \overrightarrow{k} - \overrightarrow{n}\]

Анализируя координаты, легко найти значение этих векторов:

\[\overrightarrow{mu} = \left(0-0.5, 0.5-0, 0.5-0.5\right) = \left(-0.5, 0.5, 0\right)\]

\[\overrightarrow{nk} = \left(0-0.5, 0-0.5, 0.5-0\right) = \left(-0.5, -0.5, 0.5\right)\]

Теперь, используем формулу

\[\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = |\overrightarrow{v}| \cdot |\overrightarrow{w}| \cdot \sin(\theta) \cdot \overrightarrow{n}\]

получаем

\[\overrightarrow{mu} \times \overrightarrow{nk} = \left|\overrightarrow{mu}\right| \cdot \left|\overrightarrow{nk}\right| \cdot \sin(\theta) \cdot \overrightarrow{n}\]

\[\left(-0.5, 0.5, 0\right) \times \left(-0.5, -0.5, 0.5\right) = |\left(-0.5, 0.5, 0\right)| \cdot |\left(-0.5, -0.5, 0.5\right)| \cdot \sin(\theta) \cdot \overrightarrow{n}\]

\(= \left|(0.5, 0.5, 0)\right| \cdot \left|(0.5, 0.5, 0.5)\right| \cdot \sin(\theta) \cdot \overrightarrow{n}\)

\(= |(0.5, 0.5, 0)| \cdot |(0.5, 0.5, 0.5)| \cdot \sin(\theta) \cdot \overrightarrow{n}\)

\(= (0.5^2 + 0.5^2 + 0^2) \cdot (0.5^2 + 0.5^2 + 0.5^2) \cdot \sin(\theta) \cdot \overrightarrow{n}\)

\(= 0.5 \cdot 0.75 \cdot \sin(\theta) \cdot \overrightarrow{n}\)

Теперь у нас есть нормаль к плоскости, и мы можем записать уравнение плоскости. Подставим значения \(A\), \(B\) и \(C\) из нормали и используем точку \(k\) или \((0, 0.5, 0.5)\) для определения константы \(D\):

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

\[0.5x + 0.75y = 0.5 \cdot 0.5 + 0.75 \cdot 0.5 \cdot 0.5 + 0.5 \cdot 0.5\]

\[0.5x + 0.75y = 0.625\]

\[4x + 6y = 5\]

Теперь мы получили уравнение плоскости, и можем найти ее площадь с помощью интегралов. Площадь сечения найдется, если мы найдем границы интегрирования.

Находим плоскость, которая проходит через каждую грань куба. Что соответствует уравнению \(Ax + By + Cz + D = 0\). Мы знаем, что \(0 \leq x, y, z \leq 1\). Подставим граничные значения и найдем границы интегрирования:

\[4x + 6y = 5\]

\[4x + 6 \cdot 1 = 5\] при \(y = 1\)

\[4x = 5 - 6\]

\[x = \frac{-1}{4}\]

\[4x + 6y = 5\]

\[4 \cdot 1 + 6y = 5\] при \(x = 1\)

\[6y = 5 - 4\]

\[y = \frac{1}{6}\]

Таким образом, границы интегрирования будут:

\[\frac{-1}{4} \leq x \leq 1\]
\[0 \leq y \leq \frac{1}{6}\]

Теперь, чтобы вычислить площадь сечения, проинтегрируем единицу по всей плоскости:

\[S = \iint (1) \, dx \, dy\]

\[S = \int_{-\frac{1}{4}}^{1} \int_{0}^{\frac{1}{6}} (1) \, dy \, dx\]

\[S = \int_{-\frac{1}{4}}^{1} \left. y \right|_{0}^{\frac{1}{6}} \, dx\]

\[S = \int_{-\frac{1}{4}}^{1} \left(\frac{1}{6} - 0\right) \, dx\]

\[S = \int_{-\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{6} \, dx\]

\[S = \left. \frac{1}{6} \cdot x \right|_{-\frac{1}{4}}^{1}\]

\[S = \frac{1}{6} \left( 1 - (-\frac{1}{4}) \right)\]

\[S = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{4}\]

\[S = \frac{5}{24}\]

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образованного плоскостью, проходящей через середины ребер bb1, cc1 и ab, равна \(\frac{5}{24}\).

2. Сечение, образованное плоскостью, проходящей через вершину b и середину a1d1, d1c1:

В данном случае, плоскость проходит через вершину b и середину ребра a1d1, d1c1. Давайте обозначим середину а1d1 как е. Координаты вершины \(b\) равны \((0, 0, 0)\), а координаты середины \(е\) равны \((0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\).

Плоскость, проходящая через эти точки, также будет определяться уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\). Чтобы найти нормаль к этой плоскости, мы можем взять векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости, например \(\overrightarrow{bd}\) и \(\overrightarrow{be}\). Затем, находим их векторное произведение.

Так как одна из точек, через которую проходит плоскость, это вершина \(b\), то вектор \(\overrightarrow{bd}\) можно получить, вычтя координаты точки \(d\) из координат точки \(b\):

\[\overrightarrow{bd} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}\]

\[\overrightarrow{bd} = \left(0 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0\right)\]

\[\overrightarrow{bd} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\]

Теперь найдём вектор \(\overrightarrow{be}\):

\[\overrightarrow{be} = \overrightarrow{e} - \overrightarrow{b}\]

\[\overrightarrow{be} = \left(0 - 0, \frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0\right)\]

\[\overrightarrow{be} = \left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\]

Теперь, найдем векторное произведение \(\overrightarrow{bd} \times \overrightarrow{be}\):

\[\overrightarrow{bd} \times \overrightarrow{be} = \left|\overrightarrow{bd}\right| \cdot \left|\overrightarrow{be}\right| \cdot \sin(\theta) \cdot \overrightarrow{n}\]

Если учесть, что \(\left|\overrightarrow{bd}\right| = 1\), \(\left|\overrightarrow{be}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(\theta) = 1\), получим:

\[\overrightarrow{bd} \times \overrightarrow{be} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\]

\[\overrightarrow{bd} \times \overrightarrow{be} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\]

Теперь, используя полученный вектор и координаты одной из точек, определяем уравнение плоскости:

\[-\frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{4}y + \frac{\sqrt{2}}{4}z + D = 0\]

Подставляем координаты точки \(b\propto (0, 0, 0)\) для определения константы \(D\):

\[-\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot 0 + D = 0\]

\[D = 0\]

Итак, уравнение плоскости будет:

\[-\frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{4}y + \frac{\sqrt{2}}{4}z = 0\]

Теперь, для нахождения площади сечения, используем интегралы. Для начала, найдем границы интегрирования. Поскольку плоскость проходит через всю грань куба, границы будут соответствовать границам этой грани, а это \(0 \leq x, y, z \leq 1\).

Таким образом, площадь сечения будет равна:

\[S = \iint (1) \, dx \, dy\]

\[S = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (1) \, dy \, dx\]

\[S = \int_{0}^{1} \left. y \right|_{0}^{1} \, dx\]

\[S = \int_{0}^{1} (1-0) \, dx\]

\[S = \int_{0}^{1} 1 \, dx\]

\[S = \left. x \right|_{0}^{1}\]

\[S = 1\]

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образованного плоскостью, проходящей через вершину b и середину a1d1, d1c1, равна \(1\).