Какова плотность Луны, если ее масса в 81 раз меньше, а радиус в 4 раза меньше, чем у Земли? С указанием формул

Загадочный_Парень

41

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы, связанные с плотностью, массой и объемом тела. Давайте начнем с определения плотности:
\[ \text{Плотность} = \frac{\text{Масса}}{\text{Объем}} \]
В данной задаче нам дано, что масса Луны (M\(_{\text{Луны}}\)) в 81 раз меньше, чем масса Земли (M\(_{\text{Земли}}\)), и что радиус Луны (R\(_{\text{Луны}}\)) в 4 раза меньше, чем радиус Земли (R\(_{\text{Земли}}\)).

Для начала, давайте установим связь между массой, объемом и плотностью с использованием формулы:
\[ \text{Масса} = \text{Плотность} \times \text{Объем} \]
Используя данное соотношение, запишем массу Земли и Луны:
\[ M_{\text{Земли}} = \rho_{\text{Земли}} \times V_{\text{Земли}} \]
\[ M_{\text{Луны}} = \rho_{\text{Луны}} \times V_{\text{Луны}} \]
Где \(\rho_{\text{Земли}}\) и \(\rho_{\text{Луны}}\) - плотности Земли и Луны соответственно, а \(V_{\text{Земли}}\) и \(V_{\text{Луны}}\) - объемы Земли и Луны соответственно.

Так как масса Луны в 81 раз меньше, чем масса Земли, можно записать следующие соотношения:
\[ M_{\text{Луны}} = \frac{1}{81} M_{\text{Земли}} \]
И тогда:
\[ \rho_{\text{Луны}} \times V_{\text{Луны}} = \frac{1}{81} \times \rho_{\text{Земли}} \times V_{\text{Земли}} \]

Теперь обратимся к радиусам. Известно, что радиус Луны в 4 раза меньше радиуса Земли:
\[ R_{\text{Луны}} = \frac{1}{4} R_{\text{Земли}} \]
Так как объем сферы пропорционален третьей степени радиуса, можно записать следующие соотношения для объемов:
\[ V_{\text{Луны}} = \frac{4}{3} \pi R_{\text{Луны}}^3 \]
\[ V_{\text{Земли}} = \frac{4}{3} \pi R_{\text{Земли}}^3 \]

Подставим полученные равенства в предыдущее уравнение:
\[ \rho_{\text{Луны}} \times \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{4} R_{\text{Земли}}\right)^3 = \frac{1}{81} \times \rho_{\text{Земли}} \times \frac{4}{3} \pi R_{\text{Земли}}^3 \]

Упростим выражение:
\[ \rho_{\text{Луны}} \times \frac{\pi}{3} \frac{R_{\text{Земли}}^3}{4^3} = \frac{\rho_{\text{Земли}} \times \pi}{81} R_{\text{Земли}}^3 \]

Сократим общие множители и получим окончательное уравнение для плотности Луны:
\[ \rho_{\text{Луны}} = \frac{1}{81} \times \frac{4^3}{1} \times \rho_{\text{Земли}} \]

Теперь, чтобы найти плотность Луны, нам нужно знать плотность Земли. Плотность Земли составляет примерно 5,515 г/см³. Подставим это значение в уравнение:
\[ \rho_{\text{Луны}} = \frac{1}{81} \times \frac{4^3}{1} \times 5.515 \, \text{г/см³} \]

Выполним несложные вычисления:
\[ \rho_{\text{Луны}} = \frac{1}{81} \times 64 \times 5.515 \, \text{г/см³} \]

\[ \rho_{\text{Луны}} \approx 0.425 \, \text{г/см³} \]

Таким образом, плотность Луны составляет приблизительно 0.425 г/см³.

В данном ответе мы использовали формулы плотности, массы и объема, а также установили связь между ними на основе данных, предоставленных в задаче. Шаг за шагом мы произвели необходимые расчеты и получили ответ с обоснованием каждого шага.