Какова продолжительность обращения искусственного спутника Земли, если его орбита имеет большую полуось, равную 6900?

Золотой_Монет

24

Чтобы определить продолжительность обращения искусственного спутника Земли, мы можем воспользоваться такими физическими законами, как закон всемирного тяготения и законы движения планет.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Это можно записать следующим образом:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где:
- \(F\) - сила притяжения между телами,
- \(G\) - гравитационная постоянная (приблизительно равна \(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)),
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел (в данном случае масса спутника и масса Земли),
- \(r\) - расстояние между телами (в данном случае радиус орбиты спутника).

Масса спутника считается пренебрежимо малой по сравнению с массой Земли, поэтому мы можем предположить, что сила притяжения между ними равна центробежной силе, необходимой для сохранения спутника на его орбите.

Центробежная сила определяется следующим образом:

\[F_{\text{ц}} = \frac{{m \cdot v^2}}{r}\]

где:
- \(F_{\text{ц}}\) - центробежная сила,
- \(m\) - масса спутника,
- \(v\) - скорость спутника,
- \(r\) - радиус орбиты спутника.

Также известно, что центробежная сила равна гравитационной силе:

\[F_{\text{ц}} = F\]

\[F = \frac{{m \cdot v^2}}{r}\]

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Поскольку сила притяжения и центробежная сила равны, мы можем приравнять эти два уравнения и решить относительно скорости:

\[\frac{{m \cdot v^2}}{r} = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Перенесем одну часть уравнения в другую:

\[r \cdot v^2 = G \cdot m_1 \cdot m_2\]

Используем известное соотношение для определения окружной скорости спутника:

\[v = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{{T}}\]

где:
- \(v\) - скорость спутника,
- \(r\) - радиус орбиты спутника,
- \(T\) - период обращения спутника.

Подставим это значение скорости в уравнение:

\[r \cdot \left(\frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{{T}}\right)^2 = G \cdot m_1 \cdot m_2\]

Далее упростим уравнение:

\[r^3 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot T^2}}{{4 \cdot \pi^2}}\]

Теперь мы можем выразить период обращения спутника:

\[T = \sqrt{\frac{{4 \cdot \pi^2 \cdot r^3}}{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}}\]

Подставим известные значения в данную формулу:

\[T = \sqrt{\frac{{4 \cdot \pi^2 \cdot 6900^3}}{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.972 \times 10^{24}}}}\]

Вычислим значение:

\[T \approx 5516.17\, \text{секунд}\]

Таким образом, продолжительность обращения искусственного спутника Земли составляет около 5516.17 секунд.