Какова продолжительность орбиты планеты вокруг черной дыры с массой, сравнимой с массой Солнца, если планета будет

Золотой_Орел

39

Чтобы найти продолжительность орбиты планеты вокруг черной дыры, мы можем использовать законы Кеплера и закон всемирного тяготения Ньютона. Давайте разберемся в каждом из них.

Закон Кеплера I гласит, что планеты движутся по орбитам, которые представляют собой эллипсы, с Солнцем в одном из фокусов эллипса. В данной задаче мы рассматриваем планету, движущуюся вокруг черной дыры, которая является аналогом Солнца. Поэтому мы можем применить фокусно-эллиптическую формулу и выразить продолжительность орбиты через полуоси эллипса.

Закон Кеплера II гласит, что радиус-вектор, соединяющий центр планеты с центром черной дыры, за равные промежутки времени описывает равные площади. Поэтому мы можем утверждать, что скорость планеты на орбите является постоянной.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что сила тяготения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Теперь давайте решим задачу. Известно, что планета находится на расстоянии в 1 астрономической единице (А.Е.), которая равна примерно 149.6 млн километров, от черной дыры. Масса черной дыры сравнима с массой Солнца, которая составляет примерно \(2 \times 10^{30}\) килограмм.

Пусть \(T\) обозначает период орбиты планеты (то есть продолжительность вращения), \(M\) - массу черной дыры (сравнимую с массой Солнца), а \(r\) - расстояние между планетой и черной дырой.

Теперь мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения Ньютона, чтобы определить период орбиты:

\[
\frac{{GM}}{{r^2}} = \frac{{4\pi^2}}{{T^2}}
\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, равная приблизительно \(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\), а \(\pi\) - математическая константа, приблизительно равная \(3.14159\).

Мы знаем, что \(M\) равно массе Солнца, то есть \(M = 2 \times 10^{30}\) кг, а \(r\) равно 149.6 млн км. Давайте преобразуем расстояние в метры:

\[r = 149.6 \times 10^9 \, \text{м}\]

Подставим известные значения в уравнение и найдем период орбиты \(T\):

\[
\frac{{6.67430 \times 10^{-11}\times 2 \times 10^{30}}}{{(149.6 \times 10^9)^2}} = \frac{{4\pi^2}}{{T^2}}
\]

Мы можем решить это уравнение для \(T\). Сначала домножим обе стороны на \((149.6 \times 10^9)^2\) и затем разделим на \(4\pi^2\):

\[
T^2 = \frac{{(149.6 \times 10^9)^2 \times 4\pi^2}}{{6.67430 \times 10^{-11}\times 2 \times 10^{30}}}
\]

Продолжая решение, найдем квадратное корень из обеих сторон:

\[
T = \sqrt{\frac{{(149.6 \times 10^9)^2 \times 4\pi^2}}{{6.67430 \times 10^{-11}\times 2 \times 10^{30}}}}
\]

Теперь осталось только подставить числовые значения и вычислить:

\[
T \approx \sqrt{\frac{{(149.6 \times 10^9)^2 \times 4\pi^2}}{{6.67430 \times 10^{-11}\times 2 \times 10^{30}}}} \approx 57.7 \, \text{млрд секунд}
\]

Поэтому продолжительность орбиты планеты вокруг черной дыры составляет примерно 57.7 миллиардов секунд.